Mathematische Probleme LSen Mit Mindmaps

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    03-Sep-2014

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Die Grundidee: Man benutzt eine Problem-Map fr das eigentliche Problem und eine oder mehrere Werkzeug-Maps mit einer groen Zahl von Werkzeugen fr das Lsen mathematischer Probleme.

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Mathematische Probleme lsen mit Hilfe von Mindmaps Dr. Thomas Teepe Alosenweg 37 70329 Stuttgart E-Mail: thomasteepe@web.de berblick In diesem Text mchte ich eine Methode zur Bearbeitung mathematischer Probleme darstellen. Dabei geht es nicht in erster Linie um die Elemente einer mathematischen Heuristik selbst (wie etwa die Strategie der Rckwrtssuche oder die Betrachtung von Extremfllen), sondern es geht um eine Technik, mit der diese Elemente gezielt eingesetzt werden knnen. Die Methode nutzt wesentliche Ideen des Mindmapping. Diese bekannte Technik zum Sammeln und Ordnen von Ideen wird im Abschnitt I beschrieben. Sofern der Leser mit dem Mindmapping vertraut ist, kann er diesen Abschnitt berspringen. Die Grundidee der Methode besteht darin, zwei oder mehrere Mindmaps gleichzeitig zu verwenden: - Das gegebene Problem wird in einer Mindmap bearbeitet; - dabei werden Lsungswerkzeuge aus einer oder mehreren Hilfs-Mindmaps herangezogen. Dieses Vorgehen wird in Abschnitt II vorgestellt. Im Abschnitt III wird untersucht, wie die Methode auf das Lsen mathematischer Probleme angewendet werden kann. Im Mittelpunkt steht dabei der Aufbau der benutzten Mindmaps. Inhaltsverzeichnis I. Mindmapping .................................................................................................................................................. 2 I.1 Grundlagen.............................................................................................................................................. 2 I.2 Anleitung zur Erstellung von Mindmaps ................................................................................................ 2 I.3 Diskussion ............................................................................................................................................... 2 I.4 Bemerkungen .......................................................................................................................................... 2 II. Werkzeug-Mapping: Die gleichzeitige Verwendung mehrerer Mindmaps................................................. 3 II.1 Grundidee und Bezeichnungen ............................................................................................................... 3 II.2 Die Arbeit mit Werkzeug-Maps .............................................................................................................. 3 II.3 Diskussion ............................................................................................................................................... 4 III. Anwendung des Werkzeug-Mapping auf die Bearbeitung mathematischer Probleme ............................... 5 III.1 Gliederung der Problem-Map.................................................................................................................. 5 III.2 Gliederung der Werkzeug-Maps ............................................................................................................. 6 III.3 Diskussion ............................................................................................................................................. 12 IV. Literaturverzeichnis................................................................................................................................... 12 I. Mindmapping I.1 Grundlagen Mindmapping ist eine einfache und wirkungsvolle Technik zum Sammeln und Aufbereiten von Ideen. Entwickelt wurde diese Technik in den 1970er Jahren von dem Englnder Tony Buzan. Beim Mindmapping sollen die folgenden Fhigkeiten des menschlichen Gehirns besser genutzt werden: - Assoziationen bilden, - Hierarchien von Begriffen bilden und - sowohl in Wrtern als auch in Bildern denken. Herkmmliche Techniken zum Aufzeichnen von Ideen nutzen diese Fhigkeiten oft unzureichend oder unterdrcken sie sogar. I.2 Anleitung zur Erstellung von Mindmaps - Man bentigt ein Blatt Papier, vorzugsweise im Format DIN A4 oder grer, und Schreibstifte, vorzugsweise in verschiedenen Farben. - Man benutzt das Papier im Querformat. Dies erleichtert das Layout der Mindmap. - In die Mitte des Papiers schreibt man das Thema der Mindmap und zeichnet einen Rahmen darum. Dadurch kann man die Ideen buchstblich in alle Richtungen entwickeln und behlt zugleich das zentrale Thema im Blick. - Die Hauptideen werden um dieses Zentrum herum aufgeschrieben und durch Linien mit dem Zentrum verbunden. Diese Ideen-ste werden durch Ideen-Zweige und -Unterzweige verfeinert. Durch diese Baumstrukturen entstehen Hierarchien von Begriffen. Neue Einflle knnen sachgerecht an passenden Orten eingefgt werden. - Beim Mindmapping sollte man Stichwrter anstelle ganzer Stze verwenden, um Redundanz zu vermeiden und Platz zu sparen. Zudem lassen sich Assoziationen leichter zu einzelnen Wrtern bilden als zu einem ganzen Satz. - Man sollte oft Symbole und kleine Zeichnungen verwenden, um die Fhigkeiten des Gehirns zu bildhaftem Denken auszunutzen. - Man kann die Ideen in der Mindmap ber die hierarchische Gliederung hinaus organisieren, indem man sie nummeriert, Wichtiges grafisch hervorhebt und Ideen durch Pfeile verbindet. Die genannten Regeln knnen abgendert werden, wenn dies dem Zweck der Mindmap dient. Von solchen Abweichungen wird im Folgenden hufig Gebrauch gemacht. I.3 Diskussion Vorteile: - Mindmapping ist eine sehr wirkungsvolle Methode, um Ideen zu sammeln und zu ordnen. - Es ist praktisch berall verfgbar. - Es ist auerordentlich breit einsetzbar. - Die Anwendung ist einfach, macht Spa und fhrt rasch zu Erfolgen. Nachteile: - Die Stichwrter und Symbole in einer Mindmap geben einen Gedanken oft nur skizzenhaft wieder. Deshalb eignen sich Mindmaps nur dann zur Vermittlung von Ideen, wenn sie fr diesen Zweck aufbereitet werden. - Ideen in einem intuitiven, nicht-sprachlichen und nicht-bildhaftem Stadium lassen sich in Mindmaps nicht sinnvoll erfassen. - Mindmaps knnen dazu verfhren, die wesentlichen Aspekte eines Problems unbearbeitet zu lassen und sich stattdessen mit seinen zugnglicheren Aspekten zu beschftigen oder sich in bermigen Vorplanungen zu verlieren. I.4 Bemerkungen Eine umfassende Darstellung des Mindmapping bieten Tony und Barry Buzan (Buzan/Buzan 1999). 2 Es gibt eine wachsende Zahl von Computer-Programmen fr das Mindmapping. Zumindest eines dieser Programme (mit Namen Freemind) kann kostenlos im Internet heruntergeladen werden; zu anderen Programmen gibt es kostenlose Testversionen. Internet-Suchmaschinen liefern einen raschen berblick ber das Angebot an Mindmapping-Programmen. II. Werkzeug-Mapping: Die gleichzeitige Verwendung mehrerer Mindmaps II.1 Grundidee und Bezeichnungen Die Grundidee besteht darin, zwei oder mehrere Mindmaps gleichzeitig zu verwenden. 1. Das gegebene Problem wird in der so genannten Problem-Map (PM) bearbeitet. 2. Untersttzt wird die Bearbeitung durch eine Reihe von Werkzeug-Maps (WMs). Diese WMs enthalten Operatoren, also Strategien und Techniken, die die Lsung von Problemen untersttzen. Die gleichzeitige Verwendung von PM und WMs wird im folgenden Werkzeug-Mapping genannt. II.2 Die Arbeit mit Werkzeug-Maps Im Folgenden werden die drei wesentlichen Aspekte der Arbeit mit WMs untersucht: (a) Zusammenstellung der WMs, (b) Verwendung der WMs beim Bearbeiten von Problemen und (c) Anpassung der WMs. (a) Zusammenstellung der WMs Es gibt mehrere Ausgangspunkte fr die Zusammenstellung von WMs: - Der Benutzer organisiert die heuristischen Kenntnisse, die er bereits besitzt, in WMs und entwickelt dieses System weiter. - Der Benutzer organisiert heuristische Empfehlungen aus der einschlgigen Literatur in WMs. - Der Benutzer arbeitet mit WMs, die er von einem Lehrer erhalten hat. Ein bloes Aufhufen von Operatoren in den WMs ist in jedem Fall nur wenig sinnvoll. Die Operatoren sollten vielmehr so angeordnet werden, dass diejenigen Operatoren, die in einer Bearbeitungssituation von Nutzen sind, leicht gefunden werden knnen. Damit stellt sich die Frage nach den Prinzipien fr die Gliederung der WMs. Einige werden nun vorgestellt. Gliederung nach Bearbeitungsphasen: Die Bearbeitung eines Problems lsst sich aufteilen in verschiedene Phasen, wie etwa Orientierungsteil, Ausfhrungsteil und Kontrollteil (vgl. Sell/Schimweg 2002, Kap. 4; hnlich Polya 1988, S. 5ff). Gliederung nach Operatorgruppen: Beispiele fr Operatorgruppen sind etwa Analysetechniken oder Kreativittstechniken. Gliederung nach Bearbeitungssituationen: Eine Bearbeitungssituation kann etwa darin bestehen, dass noch unklar ist, worin das Problem berhaupt besteht, welche Lsungsanstze in Frage kommen, welcher von mehreren Lsungswegen eingeschlagen werden soll oder darin, dass bei der Verfolgung eines Lsungsansatzes Hindernisse auftreten. In den WMs kann es Operatoren zur Untersuchung solcher Schwierigkeiten geben. Diesen Diagnose- Operatoren knnen dann Therapie-Operatoren zugeordnet werden, mit denen die Schwierigkeiten bewltigt werden knnen. Beispiel: Der Benutzer merkt, dass er einen Ansatz augenblicklich nicht weiter voranbringen kann. Mit einem Fragenkatalog kann er prfen, - ob die verwendeten Begriffe unklar sind, - ob unsichere Hypothesen die weitere Arbeit stren, - ob die Beziehungen von Bestandteilen des Problems unbersichtlich sind oder - ob er nicht wei, was als nchstes zu tun ist. Abhngig vom Ergebnis dieser Prfung kann er gezielt Operatoren benutzen, um die Schwierigkeiten zu beseitigen. Gliederung nach fachlichen Aspekten: Bei der Gliederung nach fachlichen Aspekten lassen sich Operatoren danach zusammenfassen, zu welcher Teildisziplin sie gehren oder auf welche Objekte sie sich anwenden lassen. Diese Gliederungen berlappen sich teilweise; dabei hat jede einzelne ihre sinnvollen Anwendungen. Es empfiehlt sich daher, sie parallel zu verwenden. Ein gewisses Ma an Redundanzen und Querverweisen zwischen den verschiedenen Gliederungen ist dabei vorteilhaft. 3 Wenn die Zahl benutzter Gliederungen eine gewisse Grenze berschreitet, ist es sinnvoll, mehrere WMs zu erstellen. Der Nutzen eines derartigen Satzes von WMs hngt entscheidend von seiner Gesamtstruktur ab; eine Reduktion auf die einzelnen Techniken, die in den Blttern der Baumstruktur einer WM zu finden sind, ist nicht mglich. Sinnvoll ist es stattdessen, den gesamten Satz von WMs selbst als einen Super-Operator mit einer Hierarchie von Sub-Operatoren aufzufassen. (b) Verwendung der Werkzeug-Maps beim Bearbeiten von Problemen Der Benutzer kann aus den verschiedenen Gliederungen diejenigen auswhlen, die zu seinen Zielen und der augenblicklichen Bearbeitungssituation passen. Sofern die WMs, wie oben beschrieben, Operatoren zur Diagnose und Therapie von Schwierigkeiten in einer Bearbeitungssituation enthalten, kann sich der Benutzer hiervon leiten lassen. Die Verwendung von WMs ist ebenso wie die sonstige Bearbeitung eines Problems stark von der Intuition des Benutzers beeinflusst. Es erscheint deshalb nicht sinnvoll, die Verwendung von WMs in ein enges Korsett von Regeln zu zwngen. Wenn die WMs dem Benutzer bei der Bearbeitung nur wenig nutzen, so knnen ihre Mngel bei der Rckschau untersucht und beseitigt werden. (c) Anpassen der Werkzeug-Maps und die Bedeutung der Rckschau Die WMs sind nicht als statische Objekte gedacht. Der Benutzer soll sie laufend seinen Erfahrungen, Kenntnissen, Bedrfnissen und Vorlieben anpassen knnen.1 Die Anpassung der WMs kann wiederum untersttzt werden durch Operatoren in der WM, mit denen das Vorgehen beim Bearbeiten eines Problems ausgewertet werden kann. 2 Zu diesen Operatoren knnen etwa die folgenden Fragen gehren: - An welchen Stellen und aus welchen Grnden war die Bearbeitung des Problems gestrt? - Durch welche Operatoren htte sich das vermeiden lassen? - Welche neuen Operatoren sollten in die WMs aufgenommen werden, und wie sollten sie eingegliedert werden? - Was war ausschlaggebend fr den Erfolg? - Wie lsst sich das auf andere Probleme bertragen? Bei der laufenden Anpassung der WMs sollte eine berfrachtung mit Operatoren, die allzu selten genutzt werden knnen, sorgfltig vermieden werden. II.3 Diskussion Vorteile: - Werkzeug-Mapping regt dazu an, sich mit dem eigenen Verhalten bei der Bearbeitung von Problemen zu beschftigen. - Werkzeug-Mapping kann angepasst werden an verschiedene Problemtypen und an die Erfahrungen, Kenntnisse, Bedrfnisse und Vorlieben des Benutzers. Insbesondere ist eine laufende Weiterentwicklung der WMs whrend einer lngeren Lernphase sinnvoll. - Werkzeug-Mapping kann als ein sich selbst verbessernder Prozess konstruiert werden: Spezielle Operatoren fr die Nachbereitung einer Problembearbeitung knnen helfen, Schwachstellen in der eigenen Vorgehensweise und im Aufbau der WMs aufzudecken und zu beheben. - Werkzeug-Mapping nutzt alle Vorteile des gewhnlichen Mindmapping. Insbesondere bei den WMs ist die Darbietung heuristischer Operatoren in einer Mindmap gnstiger als Darbietungen etwa in Form von Listen3: Die flchige, grafische und hierarchische Anordnung erleichtert die Orientierung und das Auffinden relevanter Operatoren, und weitere Operatoren lassen sich leicht sachgerecht hinzufgen. - WMs knnen eine groe Zahl von Operatoren darbieten. Dadurch knnen WMs insbesondere weniger erfahrenen Problemlsern ntzliche Operatoren ins Gedchtnis rufen. - Die selbststndige Erstellung eigener WMs verankert heuristische Operatoren im Arbeitsgedchtnis. - Durch die Verbindung von Diagnose- mit Therapie-Operatoren kann der Benutzer sehr gezielt Abhilfe fr seine Schwierigkeiten finden. 1 Eine Phase der Rckschau ist enorm wichtig, wenn die Fhigkeit, Probleme zu lsen, verbessert werden soll. Dies wird von zahlreichen Autoren betont, z.B. Mason 1985, S.57ff; Polya 1988, S.14ff. 2 Bei der Erstellung und nachfolgenden Anpassung der WMs ist Mindmapping-Software ntzlich. 3 Ein prominentes Beispiel einer derartigen Liste findet sich in Polya 1988, S. xvi-xvii. 4 - Werkzeug-Mapping untersttzt den Transfer heuristischer Kenntnisse: Ratschlge aus der Literatur knnen in WMs aufbereitet werden; Experten knnen Teile ihrer Erfahrungen in WMs darstellen und so fr Anfnger nutzbar machen; Gruppen knnen gemeinsame WMs erstellen und damit die Erfahrungen der Einzelnen fr die Gruppe verfgbar machen. Nachteile: - Werkzeug-Mapping ist wie jede neue Methode gewhnungsbedrftig. - Werkzeug-Mapping ist fr Menschen mit einer stark intuitiven Denkweise, die weder ausgeprgt sprachlich noch bildlich ist, weniger geeignet. - Der Benutzer braucht zu Beginn Augenma, um die WMs nicht mit einer berflle nur scheinbar ntzlicher Operatoren zu berfrachten. Eine geringere Zahl sinnvoll ausgewhlter und strukturierter Operatoren fhrt zu besseren Ergebnissen. III. Anwendung des Werkzeug-Mapping auf die Bearbeitung mathematischer Probleme III.1 Gliederung der Problem-Map Erfasst werden sollten in der PM alle Schritte, die bei der Bearbeitung des Problems wesentlich sind, insbesondere - Operatoren, deren Anwendung versucht werden soll, und - Ideen, die durch die Anwendung der Operatoren entstanden sind. Die folgende Grafik gibt einen sinnvollen Aufbau einer PM wieder. Abb. 1: Allgemeiner Aufbau einer PM Ansatz Ansatz ... ... ... Ansatz Ansatz ... Hauptansatz Ansatz ... Ansatz Ziel ... Ansatz Ansatz Ansatz Thema Hauptansatz Ansatz Ansatz Hauptansatz Erluterungen: - Der Gesamtberblick fllt u.U. leichter, wenn man das Thema der PM am linken Rand notiert. - Eine scharfe Trennung von Zielen, Hauptanstzen und Anstzen ist fr Anwendungen nicht notwendig. - Im Lauf der Bearbeitung knnen weitere Ziele hinzukommen. - In dem Diagramm steht jeder Ansatz oder Hauptansatz fr ein Element einer mglichen Lsung: Ein solches Element kann etwa ein Operator sein, eine Idee, die bei der Anwendung eines Operators entstanden ist oder ein spontaner Einfall fr einen Lsungsversuch. - Der Benutzer kann entscheiden, bis zu welchem Auflsungsgrad die PM die Bearbeitung des Problems abbilden soll: Ein erfahrener Problemlser kann auf die Dokumentation einzelner Zwischenschritte verzichten. Die obige Darstellung ist aus folgenden Grnden gnstig: - Sie dokumentiert sinnvoll die einzelnen Bearbeitungsschritte. Insbesondere gibt sie wieder, welche Anstze untersucht worden sind und was dabei herausgekommen ist. Die Bearbeitungsversuche sind gem ihren Abhngigkeiten gegliedert. (In Wirklichkeit stehen die Gedanken natrlich nicht in strikt hierarchischer Beziehung zueinander. Dennoch gibt die vorgeschlagene Struktur die Verhltnisse gut wieder. Verfeinerungen durch Querverweise sind leicht mglich.) - Sie kann flexibel verschiedene heuristische Vorgehensweisen abbilden, insbesondere Vorwrts- und Rckwrtssuche. 5 - Sie ermglicht es, rasch die kritischen Punkte bei der Bearbeitung eines Problems zu erkennen: - Ziele und Hauptanstze hier werden grundstzliche Entscheidungen ber Lsungswege getroffen; - sonstige Verzweigungspunkte hier werden weitere Entscheidungen ber den Lsungsweg getroffen; evtl. wurden an diesen Stellen alternative Anstze noch nicht bercksichtigt; - Endpunkte, in denen die Verfolgung eines Ansatzes zumindest vorlufig abbricht. An diesen Punkten ergeben sich oft charakteristische Schwierigkeiten bei der Bearbeitung eines Problems. Die WMs knnen gem diesen Schwierigkeiten gegliedert werden und sodann gezielt Operatoren fr deren Bewltigung zur Verfgung stellen. III.2 Gliederung der Werkzeug-Maps Es folgt eine Auswahl aus einem Satz von WMs. Dabei geht es mir weit weniger um einzelne Operatoren und ihre Anordnung, sondern um eine Illustration der Grundideen des Werkzeug-Mapping. Auswahl und Anordnung der Operatoren orientieren sich teilweise an zwei Bchern zur mathematischen Heuristik, in denen es um Aufgaben aus nationalen und internationalen Mathematik-Wettbewerben geht (Engel 1998; Zeitz 1999). Der gesamte Satz von WMs ist baumartig gegliedert. Die folgende Map bildet die Wurzel dieses Baums und dient zur allgemeinen Orientierung whrend der Bearbeitung eines Problems. Die Pfeile >> verweisen auf andere WMs. Wegen ihrer besonderen Bedeutung ist die Rckschau getrennt aufgefhrt. Abb. 2: Mathematische Probleme lsen (WM) >> Problem erfassen Problem >> Anstze erzeugen bearbeiten >> Anstze verfolgen >> Wissen beschaffen Mathematische Probleme lsen >> Ergebnisse darstellen >> Rckschau Abb. 3: Problem erfassen (WM) Skizze anfertigen Bezeichnungen einfhren Erste Schritte Spezialflle betrachten Systematisieren Vereinfachtes Problem Verwandte Probleme Geometrisch Algebraisch Algorithmisch Problem-Reprsentation Dynamisch/statisch Verschiedene Blickwinkel Koordinatensystem whlen Problem Gegebene Gren erfassen Problem modifizieren Gesuchte Gren Bedingungen Problem zerlegen Ziel festlegen 6 Haupt-Anwendungsbereich der folgenden WM: Die Inhalte der WM Anstze erzeugen sind von besonderer Bedeutung bei der Suche nach Hauptanstzen und bei der Suche nach alternativen Anstzen an Verzweigungspunkten. An dieser WM lassen sich einige allgemeine Eigenschaften zeigen: - Die knappen Eintrge in der WM knnen nur dann sinnvoll genutzt werden, wenn sie zuvor erlutert und durch Beispiele verdeutlicht worden sind: WMs knnen Erfahrungen im Bearbeiten von Problemen nicht ersetzen. - Die Orientierung in der WM fllt umso leichter, je genauer man ihre Organisation kennt. Der Benutzer kann deshalb groen Nutzen daraus ziehen, wenn er die WMs selbst erarbeitet. - Sobald ein Ast eine gewisse Gre erreicht, knnen seine Inhalte in eine separate WM ausgelagert werden. - Die WM weist berlappungen mit der WM Problem erfassen auf. Abb. 3: Anstze erzeugen (WM) >>Problem erfassen Widerspruch Beweisverfahren Induktion Fragestellungen Verwandtes suchen Methoden Vorwrts Suchrichtung Rckwrts Vorletzten Schritt planen Vorgehensweisen Zerlegen in Teilprobleme Zwischenziele festlegen Wunschdenken Gegebene Gren Modifizieren Gesuchte Gren Bedingungen Extremale Elemente untersuchen Extremalprinzip Monotonisieren Geometrische Symmetrien Symmetrie Algebraische Symmetrien Paare bilden Prinzipien Monovarianten Anstze Mit Abstnden erzeugen Durch Paritt Invarianten Konstruktion Summen Durch Hilfsobjekte Produkte Passende Gren definieren Konstruktionen Funktionen definieren Substitutionen Reihen Erzeugende Funktionen Werkzeuge Graphen ... >> Algebra Disziplinen >> Zahlentheorie >> ... 7 Haupt-Anwendungsbereich der folgenden WM: Aus der Struktur der PM ist unmittelbar ersichtlich, welche Anstze bislang nicht weiter verfolgt worden sind: Dies sind die oben genannten Endpunkte, von denen keine weiteren Verzweigungen ausgehen. An diesen und evtl. weiteren Stellen knnen Operatoren zum Thema Anstze verfolgen die Bearbeitung voranbringen. Die Map zeigt, wie Diagnose- und Therapie-Operatoren zusammenwirken: Der Ast Blockaden beseitigen fhrt zu verschiedenen Typen von Blockaden (Diagnose).4 Zu jedem Typ findet man dann eine Reihe von Operatoren, die beim Auflsen dieser Blockade helfen (Therapie). Die Mglichkeit, Hilfestellungen auch bei emotionalen Schwierigkeiten anzubieten, ist durch den Ast Frustration nur knapp angedeutet. Dieser Ansatz ist sehr entwicklungsfhig. Abb. 4: Anstze verfolgen (WM) Unklarheit benennen Unklarheit Klrung der Unklarheit als Zwischenziel formulieren Teilprobleme untersuchen Komplexitt Spezialflle untersuchen >> Anstze erzeugen Blockaden Neuartigkeit >> Wissen beschaffen beseitigen Identifizieren Unsichtbare Elemente Informationen ber Elemente sammeln >> Wissen beschaffen Identifizieren Unsichere Hypothesen berprfen Sich an frhere Erfolge erinnern Frustration Sich selbst Ratschlge geben Was spricht fr/gegen Abbruch? Anstze Abbruch sinnvoll? Alternativen zum Abbruch? verfolgen Verbalisieren Visualisieren Was wrde X jetzt tun? Was wrde X mir jetzt raten? Allgemeine Tricks Zwischenstand zusammenfassen Abstand zum Pause machen Problem gewinnen Perspektive eines Beobachters einnehmen Einer anderen Person das Problem schildern 4 Die Klassifikation der Blockaden benutzt Ideen aus Drners Theorie der Unbestimmtheit (vgl. Drner 1998, S. 351ff), sofern mir diese fr mathematische Fragestellungen relevant erschienen. 8 Die folgende WM umfasst Teile des Kapitels ber Algebra aus dem Buch von Paul Zeitz ber mathematisches Problemlsen (Zeitz 1999, Kap. 5). Sie soll vor allem zeigen, wie nicht nur heuristische Prinzipien in WMs organisiert werden knnen, sondern auch mathematisches Wissen. Mathematische Terme lassen sich leicht in handgeschriebene WMs einfgen; sie fehlen hier aus Grnden der technischen Darstellbarkeit. Abb. 5: Algebra (WM) Faktorisierungen Binomische Formeln Quadrate benutzen Symmetrien ausnutzen Substituieren und Geeignete Vereinfachen Ergnzungen Faktoren einfhren Summanden Summen Teleskop- Produkte Faktorisierung Fundamentalsatz Divisionsalgorithmus Restsatz Algebra Polynome Koeffizienten und Nullstellen Elementarsymmetrische Polynome Lemma von Gau Rationale Nullstellen Satz ber rationale Nullstellen ... Die folgende WM erfasst einige Methoden zur Beschaffung mathematischen Wissens. Abb. 6: Wissen beschaffen (WM) Inhaltsverzeichnisse Standardwerke Register Lexika und Handbcher Datenbank- Zentralblatt fr Mathematik Recherche Mathematical Reviews ... Suche Internet Diskussionsgruppen Persnlich Wissen Experten E-Mail beschaffen befragen Literatur Fragen nach ... Ansprechpartnern Inhaltlichen Hinweisen 9 Die vorletzte der vorgestellten WMs soll die Darstellung der Ergebnisse untersttzen. Wesentliche Ideen stammen aus dem Buch von Beutelspacher zur Formulierung mathematischer Gedanken (Beutelspacher 2002). Abb. 7: Ergebnisse darstellen In der Problemstellung In eigenen Hilfs- konstruktionen Welche Gegenstnde treten auf? Zahlen Folgen Abbildungen ... Skizzen anfertigen Allgemeines Geeignete Bezeichnungen Vorgehen einfhren Eigenschaften fordern Eigenschaften Eigenschaften der Gegenstnde nachweisen Gegenstnde mit besonderen Eigenschaften Extremale Gegenstnde Manipulation an Gegenstnden Durch Abbildungen mathematisch beschreiben ... Was soll bewiesen werden? Schritt 1, Schritt 2 ... Beweis gliedern Fallunterscheidung Zwischenbehauptungen formulieren Beweis-Ende deutlich machen Formulierung einer Annahme Ergebnisse Beweise Widerspruchs- aufschreiben Widerspruch zur darstellen beweis Schlussfolgerung Annahme ziehen Standard- Widerspruch zu gltiger Beweis- mathematischer Aussage verfahren Gegenbeispiel Induktionsanfang Induktionsbeweis Induktionsvoraussetzung Induktionsschluss ... Vollstndige Stze! Klare, berschaubare Stze! hnliche Bezeichnungen fr hnliche Gegenstnde Gute Bezeichnungen Hierarchien der Gegenstnde Mathematische Stilistik in Bezeichnungen deutlich machen Standardbezeichnungen benutzen Nicht am Anfang! Symbole in Stzen I.d.R. durch mindestens ein Wort trennen! ... 10 Die abschlieende WM zur Rckschau hat drei wesentliche Funktionen: 1. Sie soll die Prfung von Resultaten und Methoden bei der Bearbeitung eines Problems untersttzen. 2. Sie soll helfen, die WMs laufend den inhaltlichen und methodischen Anforderungen anzupassen. 3. Schlielich soll sie helfen, das eigene Verhalten beim Bearbeiten von Problemen zu verbessern. Die folgende WM sollte als eine erste Annherung an das komplexe Thema Rckschau aufgefasst werden. Die Operatoren zur Verbesserung des allgemeinen Problemlseverhaltens knnen losgelst von einer unmittelbaren Bearbeitung eines Problems benutzt werden. Auswahl und Gliederung dieser Operatoren ist teilweise beeinflusst von berlegungen Csikszentmihalyis (Csikszentmihalyi 2001). Abb. 6: Rckschau (WM) Wissenslcken aufspren >> Wissen beschaffen Prfung der Einzelschritte Resultate prfen Extremflle Ergebnisse plausibel? Spezialflle Andere Herleitung? Methoden prfen Weitere Einsatzmglichkeiten? Welche Strungen gab es? Ursache der Strungen? Bearbeitungsvorgang prfen Behebung der Strungen? Anpassung von HMMs Neue Operatoren? sinnvoll? Gliederungen verndern? Arbeitsbedingungen Arbeitsverhalten Was strt die Konzentration? Geringe Motivation Sonstige Ablenkungen Motivation Welchen Wert hat es, prfen das Problem zu bearbeiten? Wie sind die Erfolgsaussichten? Herausforderungen Problem ggf. angemessen? vereinfachen Erfolgsmastbe bedenken Rckschau Deutliche Ziele Ziele setzen Allgemeine Erreichbare Ziele Zwischenziele setzen Vorgehensweise verbessern Umgang mit Gefhlslage quot;Unbehagenquot; whrend der Wahrnehmen Rckmeldungen beachten auffinden und Bearbeitung Benennen verarbeiten Klren Rckmeldungen Vermutungen formulieren aus dem Problem Vermutungen berprfen Allgemein: Schwchen Ursachen der Schwchen? analysieren Verbesserungen? Untersuchen Vorbilder Nachahmen Konstruktion ntzlicher Operatoren? 11 III.3 Diskussion Vorteile: - Die PM liefert eine sinnvolle Dokumentation der Bearbeitungsschritte. - Kritische Punkte in der Bearbeitung des Problems lassen sich anhand der PM leicht identifizieren. Zu diesen kritischen Punkten lassen sich dann gezielt Hilfsoperatoren in den WMs finden. Nachteile: - Wenn Probleme umfangreiche Nebenrechnungen oder platzraubende Skizzen bentigen, so kann es Probleme mit dem Layout der PM geben. Dies lsst sich durch Querverweise in den Griff bekommen; Nebenrechnungen und Skizzen knnen auf gesonderten Blttern angefertigt werden. IV. Literaturverzeichnis Beutelspacher, Albrecht (2002) Das ist o.B.d.A. trivial Tipps und Tricks zur Formulierung mathematischer Gedanken. 6. Auflage, Vieweg, Braunschweig. Buzan, Tony; Buzan Barry (1999) Das Mind-Map-Buch. 4. Auflage, Mvg, Landsberg. Csikszentmihalyi, Mihaly (2001) Flow Das Geheimnis des Glcks. 9. Auflage, Klett-Cotta, Stuttgart. Drner, Dietrich (1998) Bauplan fr eine Seele. Rowohlt, Reinbek. Engel, Arthur (1998) Problem-Solving Strategies. Springer, New York. Mason, John (1985) Hexeneinmaleins. Oldenbourg, Mnchen. Polya, George (1988) How to Solve it. Princeton University Press, Princeton. Sell, Robert; Schimweg, Ralf (2002) Probleme lsen. Springer, Berlin. Zeitz, Paul (1999) The Art and Craft of Problem Solving. Wiley, New York. Die Mindmapping-Software FreeMind ist zugnglich unter www.sourceforge.net (zuletzt aufgerufen Anfang November 2005) 12

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