Dimensionstheorie Noetherscher Ringe

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    25-Jun-2015

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Dimensionstheorie Noethersche Ringe nach Athiyah MacDonald.

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  • 1. Dimensionstheorie Seminarvortrag: Kommutative Algebra Heinrich Hartmann SS 2004 Inhaltsverzeichnis 1 Einfuhrung 1 2 Hilbert Funktionen 2 3 Noethersche Lokale Ringe 8 4 Regulare Lokale Ringe 12 5 Transzendente Dimension 13 1 Einfuhrung Es mag zunachst etwas befremdlich klingen, dass der Begri der Dimension, der uns allen in vielerlei Hinsicht so naturlich vorkommt, in der Kommutativen Algebra derart viele Umstande macht. Kapitel 8 im zweiten Teils von David Eisenbud: Commutative Algebra with a view tward Algebraic Geometry gibt einige sehr lesenswerte Erklarungen zu wesentlichen Ideen dieses Themas. Einige davon will ich hier kurz vorstellen. In den Anfangen der Algebraischen Geometrie waren Kurven etwas, was durch eine Gleichung in den Koordinaten der Euklidischen Ebene deniert wird. Dies sind nun Objekte, die in jeder Hinsicht eindimensional sind (abgesehen von pathologischen Fallen wie etwa x2 +y2 = 0). Die Einfuhrung komplexer Zahlen veranderte zwar die Natur der untersuchten Objekte, nicht aber die Ansicht, dass sie eindimensional sein sollten. Allein Bezeichnungen Riemannsche Flachen und algebraische Kurven uber C fur das selbe Objekt die verdeutlichen die Problematik bei der Denition der Dimension dieser Objekte. Von einem Dimensionsbegri verlangt man in der Kommutativen Algebra ublicherweise fol- gende Eigenschaften: Axiom D1 Dimension ist eine lokale Eigenschaft. Das soll bedeuten, dass ein Ring lo- kal durchaus verschiedene Dimensionen haben darf. Insgesamt wird dem Ring dann das Supremum der Dimensionen der lokalisierungen zugeordnet: dim A = sup p A Primideal dim Ap (1) 1

2. Wenn man die Deutung der Komplettierung als kleinere Umgebung und des Ideals im Kopf behalt, wird die Forderung dim Ap = dim Ap (2) verstandlich. Axiom D2 Nilpotente beeinussen die Dimension nicht. Gewohnliche Polynomringe haben keine nilpotenten Elemente, in der Geometrie gibt es in der Regel keine nilpotenten Funktionen (auer 0). Man kann jedoch nilpotenten Elementen eine geometrische Bedeu- tung geben, wenn man sie als Richtungsinformationen ahnlich einer Taylorreihe liest. Man denke beispielsweise an den Ring k[x]/(x2), wo von einem Polynom f k[x] nur noch die letzten beiden Koezienten sichtbar beliben. Daher ist es zu verstehen, dass Nilpotente bei der Dimension keine Rolle spielen sollten. Axiom D3 Ganze Erweiterungen beeinussen die Dimension nicht. Sei f : X Y ein Morphismus aner Varietaten, so dass die induzierte Abbildung der Koordinatenringe f*: A(Y ) A(X) eine ganze Erweiterung ist ( B endlich erzeugt als A-Modul), dann hat f endliche Fasern (Beweis mit going up/down Theoremen von Cohen Seidenberg). Ganze Ringerweiterungen entsprechen also Uberlagerungen auf der geometrischen Seite. Hat man z.B. eine Uberlagerung von Mannigfaltigkeiten gegeben, so ist auch hier die Dimension von Basis (Ziel) und Totalraum (Quelle) die selbe. Axiom D4 Kalibration: dim k[x1, . . . , xd] = d. Der Polynomring in d Variablen entspricht der anen d-dimensionalen Ebene uber k. Dieser sollte mit Sicherheit die Dimension d zugewiesen bekommen. Im Folgenden werden 3 verschiedene Charakterisierungen gegeben, die im Falle lokaler noether- scher Ringe einen konsistenten Dimensionsbegri liefern. 2 Hilbert Funktionen Denition 2.1. Eine Abbildung : A-Mod Z von der Klasse aller A-Moduln nach Z heit additive Funktion, falls fur jede kurze exakte Sequenz: 0 M M M 0 (3) gilt: (M) = (M ) + (M ). Beispiel 2.2. Sei k ein Korper, so ist dim : k-Vektorraume Z additiv (mit Homomorphisatz). Beispiel 2.3. In 6 haben wir gesehen, dass die Lange l der Kompositionsreihe eines Moduls uber einem Artinschen Ring eine additive Funktion ist. Dies wird die additive Funktion sein, die uns im folgenden primar interessieren wird. Ist der Grundring ein Korper, so ist die Lange des Moduls naturlich die Dimension als Vektrorraum. Lemma 2.4. Sei eine additive Funktion, Mi A-Moduln. Fur eine exakte Sequenz 0 M1 . . . Mn 0 (4) gilt: (1)i (Mi) = 0 2 3. Beweis. Vgl. Kapitel 2 Sei A = n=0 An ein graduierter, noetherscher Ring. Nach 10.7 ist dann A0 ebenfalls noethersch und A das Erzeugnis endlich vieler x1, . . . , xs als A0-Algebra. Zerlegen wir nun die einzelnen Erzeuger in ihre homogenen Komponenten, erhalten wir ein weiteres Erzeugendensys- tem von A. Wir konnen also o.E. xi als homogen annehmen: xi Aki . Sei M = n=0 Mn ein endlich erzeugter graduierter A-Modul. Dann wird M von endlich vielen homogenen Elementen m1, . . . , mt erzeugt: mj Mrj (gleiches Argument). Jedes Element aus Mn hat also die Form n j=0 aj mj wobei aj Anrj . Also ist Mn endlich erzeugt als A0- Modul von den Elementen der Form aj mj mit aj Monom in x1, . . . , xs vom Totalgrad n rj (d.h. aj = xj1 . . . xjm , n rj = kj1 + . . . + kjm ). Denition 2.5. Sei : A0-Mod Z eine additive Funktion. Die Poincare Reihe eines endlich erzeugten A0-Moduls M (bezuglich ) ist die erzeugende Funktion von (Mn): P(M, t) = n=0 (Mn) tn (5) zunachst als formale Potenzreihe. (Obwohl die Funktion naturlich von der Wahl von abhangt, unterdrucken wir dies bei der Notation). Satz 2.6. (Hilbert, Serre) P(M, t) ist eine rationale Funktion der Form: f(t) s i=0(1 tki ) (6) mit einem Polynom f(t) Z[x]. Beweis. Mit Induktion nach s der Anzahl der Erzeuger von A als A0-Algebra: Fur s = 0 ist A=A0 und somit M ein endlich erzeugter A0-Modul. Das bedeutet Mn wird Null fur groe n, also auch (Mn) und P(M, t) ist selbst ein Polynom. Fur s > 0 haben wir exakte Sequenzen von A0-Moduln: 0 Kn Mn xs Mn+ks Ln+ks 0 (7) Wobei Kn der Kern der Abbildung xs : Mn Mn+ks und Ln+ks der Kokern ist. Wir setzen nun K = n Kn und L = n Ln. K ist ein Untermodul von M und wird nach Konstruktion von xs annulliert. L ist ein Faktormodul von M und wird ebenfalls von xs annulliert, denn jeder Reprasentant einer Nebenklasse in L wird durch xs in das Bild von xs abgebildet, welches jedoch gerade ausgeteilt wurde. Da also xs auf L und K wie die Null wirkt, konnen wir xs als Erzeuger streichen. Somit werden L und K zu A0[x1, . . . , xs1] Moduln und wir konnen die Induktionsvoraussetzung anwenden. Erst einmal haben wir: (Kn) (Mn) + (Mn+ks ) (Ln+ks ) = 0 (8) Multiplikation mit tn+ks und Summation uber n liefert: tks n=0 tn (Kn) tks n=0 tn (Mn) + n=0 tn+ks (Mn+ks ) n=0 tn+ks (Ln+ks ) = 0 tks P(K, t) tks P(M, t) + P(M, t) + p(t) P(L, t) + p (t) = 0 (1 tks )P(M, t) = P(L, t) tks P(K, t) + p (t) (9) 3 4. mit Polynomen p, p , p in denen jeweils die Restterme versammelt wurden. Mit der Induktions- veraussetzung folgt: (1 tks )P(M, t) = f(t) s1 i=0 (1 tki ) tks g(t) s1 i=0 (1 tki ) + p (t) P(M, t) = h(t) s i=0(1 tki ) (10) wobei wieder f, g, h Z[t]. Bemerkung 2.7. Insbesondere konvergiert P(M, t) auf der oenen Einheitskreisscheibe und kann zu einer meromorphen Funktion auf C fortgesetzt werden. Diese hat nur endliche viele Pole, die alle auf dem Einheitskreis liegen (ki-te Einheitswurzeln). Denition 2.8. Die Ordung des Pols von P(M, t) an der Stelle t = 1 wird mit d(M) bezeichnet und ist ein Ma fur die Groe von M relativ zu . Falls A von Elementen der Ordnung ki = 1 erzeugeut wird (als A0-Algebra), so haben die Koezienten von P(M, t) eine besoders einfache gestalt: Korollar 2.9. Ist ki = 1 fur alle i, dann ist (Mn) fur groe n ein Polynom H(n) (aus Q[x]) vom Grad d(M) 1. Dieses Polynom wird auch Hilbert Polynom genannt. Beweis. Wir wissen bereits, dass die Erzeugendenfunktion von (Mn) gegeben ist durch f(t)/(1 t)s. Kurzen wir den Bruch vollstandig, erhalten wir: P(M, t) = g(t)/(1 t)d und f(1) = 0, wobei d = d(M). Sei nun g(t) = a0 + a1t + . . . + aN tN ; Es gilt: (1 t)d = k=0 d + k 1 d 1 tk (11) Somit folgt: n=0 (Mn)tn = P(M, t) = g(t) (1 t)d = N l=0 altl k=0 d + k 1 d 1 tk = L=0 L K=0 d + L K 1 d 1 aKtL (12) Mit an = 0 fur alle n > N. Koezientenvergleich liefert: (Mn) = N k=0 ak d + n k 1 d 1 (13) fur alle n > N, sonst wird die Summe nicht vollstandig durchlaufen. Mit n k = n(n 1) . . . (n k +1)/k! sieht man noch, dass diese Summe ein Polynom in n ist. Der Fuhrungsterm ergibt sich zu: ( k ak)nd1/(d 1)! Satz 2.10. Sei x Ak kein Nullteiler von M, dann gilt d(M/xM) = d(M) 1 4 5. Beweis. Analog zum Beweis von 2.6 betrachten wir die exakte Sequenz: 0 Kn Mn x Mn+k Ln+k 0 (14) wobei diesmal Kn = 0 (Multiplikation mit x ist injektiv). Anwenden von , Multiplikation mit tn+k und aufsummieren liefert: (1 tk )P(M, t) = P(L, t) + p(t) (15) mit einem Polynom p(t) Z[t]. Da nun 1 tk nur eine einfache Nulltelle bei t = 1 hat, folgt die Behauptung. Beispiel 2.11. Sei A = k[x1, . . . , xs] der Polynomring in s Variablen uber einem Korper k (oder einem artinschem Ring). Dann ist An ein freier Modul erzeugt von Monomen xm1 1 . . . xms s mit mi = n. Es gibt s+n1 s1 von ihnen (Ziehen mit Zurucklegen ohne Beachten der Reihenfolge). Wahlen wir als additive Funktion die Lange des Moduls (= Anzahl der Erzeuger), so ergibt sich: P(M, t) = (1 t)s. Beispiel 2.12. Sei A = k[x1, . . . , xs] der Polynomring in s Variablen uber einem Korper k, I = (x6y2, x4y3, xy5) A ein Monomideal. Insbesondere hat I homogene Erzeuger und A/I wird auf naturliche Weise ein graduierter A-Modul. Wir wollen nun die Poincarereihe des graduierten A-Moduls A/I ausrechnen. Eine k-Vektorraumbasis von A/I ist gegeben durch B = {xn ym | n, m N0, xn ym / I} (16) diese ist kompatibel mit der Graduierung in dem Sinne, dass der Grad i Anteil von A/I von den Grad i Elementen von B aufgespannt wird. Da wir hier uber einem Korper arbeiten, ist die Lange des Moduls durch seine Dimension gegeben. Die Dimensionen der homogenen Komponenten kann man nun relativ leicht am Monomdiagram ablesen: Hierbei entsprechen die Gitterpunkte den Monomen in x und y, der dunkel eingefarbte Bereich markiert Monome die in I liegen. So ndet man: i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 > 8 l((A/I)i) 1 2 3 4 5 6 6 5 3 3 5 6. Fur groe i ist die lange also konstant (= 3). Der erste Ansatz ware also das Verhalten fur groe Werte von i zu kontrollieren. n=0 3 tn = 3 1 t Die kleinen Werte von i konnen wir nun mit einem Polynom korrigieren: P(M, t) = 3 1 t + 2t7 3t6 + 3t5 + 2t4 + t3 t 2 = 1 + t + t2 + t3 + t4 + t5 t7 2t8 1 t (17) Womit wir das Theorem von Hilbert Serre experimentell bestatigt haben. Anfang des Vortrags Satz 2.13. Sei A ein noetherscher lokaler Ring, m das maximale Ideal, q ein m-primares Ideal, M ein endlich erzeugter A-Modul, (Mn) eine stabile q-Filtration von M. Dann gilt: 1. M/Mn hat endliche Lange fur alle n > 0 2. Fur groe n ist diese Lange ein Polynom g(n) vom Grad kleiner gleich s, wobei s die geringste Anzahl von Erzeugern von q. 3. Der Grad und des Fuhrungskoezient von g(n) hangen nur von M und q, nicht aber von der gewahlten Filtration ab. Beweis. zu 1. Sei G(A) = n=0 qn/qn+1, G(M) = n=0 Mn/Mn+1. Der erste Summand G0(A) = A/q ist noethersch und nulldimensional, (da in A kein Primideal uber q liegt) und somit artinsch nach (8.5). G(A) ist noethersch und G(M) ist nach (10.22) ein endlich erzeugter G(A)-Modul. Jeder Summand Gn(M) = Mn/Mn+1 wird als A-Modul durch q annuliert ((Mn) ist q- Filtration), kann also als A/q-Modul aufgefasst werden. Damit ist nun Mn/Mn+1 zu ei- nem endlich erzeugen Modul uber einem artinschen Ring (A/q) geworden und hat somit endlich Lange (da eine Kompositionsreihe existiert). Es gilt: ln = l(M/Mn) = n r=1 l(Mr1/Mr) (18) (betrachte: Mn/Mn+1 M/Mn+1 M/Mn) zu 2. Sei x1, . . . , xs ein Erzeugendensystem von q, dann erzeugen die Bilder xi der xi in q/q2 den Ring G(A) = A/q q/q2 q2/q3 . . . als A/q-Algebra. Alle xi haben Grad 1, also gilt nach (2.9) l(Mn/Mn+1) ist fur groe n ein Polynom f(n) vom Grad kleiner gleich s 1. Nach Gleichung (18) gilt demnach ln+1 ln = f(n). Nach dem folgendem Lemma (2.14) ist dann ln ebenfalls ein Polynom g(n) von Grad kleiner gleich s ist (fur groe n). zu 3. Sei (Mn) eine weitere stabile q-Filtration von M, und sei g (n) = l(M/Mn). Nach (10.6) haben die beiden Filtrationen gebundene Dierenz, d.h. es existiert eine Zahl n0 mit Mn+n0 Mn, Mn+n0 Mn fur alle n 0. Es folgt g(n + n0) g (n) und g (n + n0) g(n). Also mussen g und g gleichen Grad und Fuhrungskoezienten haben. Lemma 2.14. (vgl. Hartshorne Algebraic Geometry, S.49) Ein numerisches Polynom ist ein Polynom P Q[x] mit der Eigenschaft, dass P(n) Z fur groe n N. 6 7. 1. Ist P ein solches, dann gibt es ganze Zahlen c0, . . . , cr sodass: P(x) = c0 z r + c1 z r 1 + . . . + cr (19) Insbesondere ist P(n) Z fur alle n Z. 2. Ist f : Z Z eine beliebige Funktion, deren Dierenzfunktion f := f(n + 1) f(n) ein numerisches Polynom Q(n) ist. So ist auch f selbst ein numerisches Polynom P(n) fur groe n. Beweis. zu 1. Mit Induktion nach dem Grad von P. Fur grad Null ist die Behauptung trivial. Da x r = xr/r! + . . . konnen wir P auf jeden Fall in der obigen Form schreiben, falls wir ci aus Q wahlen. Betrachten wir nun P(x) = P(x + 1) P(x), so erhalten wir mit x r = x r1 : P = c0 x r 1 + c1 x r 2 + . . . + cr (20) Dies ist nun ein numerisches Polynom vom Grad r 1, nach Induktionsvorraussetzung sind also c0, . . . , cr1 Z. Doch nun folgt sofort cr Z, da P(n) ganzzahlig wird fur groe n. zu 2. Schreibe Q wie in (19), dann setze P = c0 x r + 1 + c1 x r + . . . + cr x 1 (21) Nun ist P = Q, und damit (f P)(n) = 0 fur groe n. Also ist (f P) eine Konstante cr+1 fur groe n und es gilt f = P + cr+1. Denition 2.15. Das zur Filtration (qnM) gehorige Polynom g(n) wird auch mit M q (n) be- zeichnet: M q (n) = l(M/qn M) (22) Im Falle M = A nennen wir q(n) := A q (n) auch das charakteristische Polynom von q. Korollar 2.16. Fur groe n ist l(A/qn) ein Polynom q(n) vom Grad kleiner gleich s, der minimalen Anzahl von Erzeugern von q. Beweis. Wende (2.13) 2. mit M = A, Mn = qn an. Satz 2.17. Seien A ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal m, q sei m-primar. Dann gilt: grad q(n) = grad m(n). Beweis. Da q ein zu m assoziiertes Primarideal ist, haben wir mr q m mit einem r 1. Also gilt mnr qn mn und damit m(rn) q(n) m(n) (23) und mit n folgt die Behauptung. Denition 2.18. Der gemeinsame Grad der q(n) wird auch mit d(A) bezeichnet und stimmt mit der fruheren Denition von d uberein, wenn man als graduierten Modul Gm(A) wahlt: d(A) = d(Gm(A)) (24) 7 8. Beweis. Der Grad des Hilbertpolynoms H(n) = l(mn+1/mn) ist nach (2.9) d-1 und da m(n) := l(A/mn) gilt: m(n) = H(0) + H(1) + . . . + H(n 1) (25) und mit (2.14) folgt wieder die Behauptung. Zusammenfassung Poincarereihe P(M, t) = n=0 l(Mn) tn Hilbertpolynom H(n) = l(Mn) charakteristisches Polyom M q (n) = l(M/qnM) 3 Noethersche Lokale Ringe Denition 3.1. Sei A ein noetherscher lokaler Ring, m das maximale Ideal. Wir bezeichnen mit (A) := min{n | (x1, . . . , xn) m-primar } die kleinste Anzahl von Erzeugern eines m-primaren Ideals von A. Wir schicken den Hauptsatz der Dimensionstheorie noetherscher lokaler Ringe voran. Satz 3.2. Sei A ein noetherscher lokaler Ring, m das maximale Ideal. Die drei folgenden Zahlen sind gleich: dim A: Die maximale Lange von Ketten von Primidealen in A (Krulldimension). d(A): Der Grad des charakteristischen Polynoms m(n) = l(A/mn). (A): Die kleineste Anzahl von Erzeugern eines m-primaren Ideals. Wie zu erwarten bedarf der Beweis ein wenig Arbeit. Die Strategie wird sein zu zeigen (A) d(A) dim A (A), woraus naturlich die Gleichheit folgt. 8 9. Satz 3.3. (A) d(A) Beweis. Das war Inhalt von (2.16). Satz 3.4. Sei A, m, q wie immer, M ein endlich erzeugter A-Modul, x A kein Nullteiler in M und M = M/xM. Dann gilt: gradM q gradM q 1 (26) Beweis. Sei N = xM, da x kein Nullteiler ist die Abbildung x : M N, m xm injektiv also ein Isomorphismus von A-Moduln. Sei Nn = N qnM. Wir betrachten die exakte Sequenz: 0 xM M M/xM 0 (27) Teilen wir uberall qnM heraus ergibt sich: 0 N/Nn M/qn M M /qn M 0 (28) Wenden wir nun die additive Funktion l an, erhalt man mit g(n) = l(N/Nn): g(n) M q (n) + M q (n) = 0 (29) fur groe n. Nun sagt uns Artin-Rees (10.9), dass (Nn) eine stabile q-Filtration von N ist. Da N = M erhalten wir mit (2.13) 3. dass g(n) und M q (n) denselben Leitterm haben und es folgt die Behauptung. Wir erhalten nun sofort ein Ergebnis, das wir in der graduierten Version schon in (2.10) gesehen haben: Korollar 3.5. Ist A ein noetherscher lokaler Ring, x ein Nichtnullteiler in A, dann gilt: d(A/(x)) d(A) 1 (30) Beweis. Direkte Folgerung aus (3.4) mit M=A. Wir sind nun soweit den nachsten wichtigen Satz zu beweisen: Satz 3.6. d(A) dim A. Beweis. Mit Induktion nach d = d(A). Ist d = 0 so ist l(A/mn) konstant fur groe n. Also haben wir mn = mn+1 (beachte l(A/mn+1) = l(A/mn)+l(mn/mn+1)) fur ein n und mit Nakayama folgt m = 0. Daher ist A artinsch und damit dim A = 0. Sei nun d > 0 und der Fall d 1 schon gezeigt. Sei weiter p0 p1 . . . pr eine beliebige Kette von Primidealen in A. Sei x p1, x / p0, A = A/p0 und x das Bild von x in A . Dann ist x = 0 und da A ein Integritatsbereich ist, konnen wir (3.5) anwenden: d(A /(x )) d(A ) 1 (31) Ist nun m das maximale Ideal von A , dann ist A /m n das Bild von A/mn unter der kanonischen Projektion und somit folgt l(A/mn) = l(A /m n)+l(ker()) l(A /m n) und damit d(A) d(A ) (betrachte Hilbertpolynom). Also haben wir insgesamt: d(A /(x )) d(A ) 1 = d(A) 1 = d 1 (32) Nun folgt aus der Induktionsvorraussetzung, dass die Lange jeder Kette von Primidealen in A /(x ) kleiner gleich d 1 ist. Doch die Bilder von p1, . . . , pr in A /(x ) bilden eine Kette der Lange r 1, also folgt r 1 d 1 und wir haben r d, was zu zeigen war. 9 10. Korollar 3.7. Falls A noetherscher lokaler Ring, dann ist dim A endlich. Denition 3.8. In einem beliebigen Ring A denieren wir die Hohe eines Primideals p als Supremum der Langen von Primidealketten p0 p1 . . . pr = p, die bei p enden. Es gilt Hohe von p = dim Ap. Korollar 3.9. In einem noetherschen Ring hat jedes Primideal endlich Hohe. Also genugen die Primideale eines Noetherschen Rings der absteigenden Ketten Bedingung (d.c.c.). Satz 3.10. Sei A ein noetherscher lokaler Ring der Dimension d. Dann existiert ein m-primares Ideal in A, das von nicht weniger als d Elementen x1, . . . , xd erzeugt wird. Also dim(A) (A). Beweis. Wir konstruieren x1, . . . , xd m so, dass m das einzige Primideal ist das (x1, . . . , xd) enthalt. Dies geschieht induktiv, wobei wir stets sicherstellen, dass Hohe von (x1, . . . , xi) i. Da m das einzige Primideal ist das Hohe d hat, haben wir dann die Behauptung bewiesen. Fur i = 0 ist nichts zu zeigen. Sei also (x1, . . . , xi1) schon konstruiert. Ist m das einzige Primideal das (x1, . . . , xi1) enthalt so sind wir bereits fertig. Nehmen wir also an, dies sei nicht der Fall. Sein p1, . . . , ps die minimalen Primideale der Primarzerlegung von (x1, . . . , xi1). Aus der Minimalitatsbedingung folgt sofort m = pj j {1, . . . , s}. Aus dem Primvermeidungslemma folgt nun s j=1 pj = m. Wahle also xi m, xi / s j=1 pj. Sei nun p ein Primideal, das (x1, . . . , xi) enthalt. Wir mussen zeigen Hohe von p i. Es folgt aus der Minimalitat der pj, dass pj p fur mindestens ein j {1, . . . , s}. Weiter ist nach Konstruktion p = pj und da nach Induktionsvoraussetzung Hohe von pj i 1 muss, gelten Hohe von p i, was wir zeigen wollten. Als letztes bleibt noch zu verizieren, dass (x1, . . . , xd) wirklich m-primar ist. Da m das einzige Primideal ist das (x1, . . . , xd) enthalt folgt (x1, . . . , xd) = m und aus der Maximalitat von m folgt nun auch diese Behauptung. Damit haben wir den Hauptsatz der Dimensionstheorie bewiesen. Beispiel 3.11. Sei A = k[x1, . . . , xn]m die Lokalisierung des Polynomrings am maximalen Ideal m = (x1, . . . , xn). Dann ist Gm(A) der Polynomring in n Variablen und seine Poincarereihe ist gegeben durch (1t)n. Also ist mit dem Hauptsatz dim Am = n (Ziehen mit Zurucklegen ohne bachten der Reihenfolge). Korollar 3.12. (Einbettungsdimension) dimk(m/m2) dim A Beweis. Seien v1, . . . , vs m so, dass die Bilder in m/m2 eine Vektorraum-Basis bilden, dann erzeugen die vi auch m. Also ist dimk(m/m2) = s dim A Korollar 3.13. Sei A ein noetherscher Ring, x1, . . . , xr A. Dann hat jedes minimale zu (x1, . . . , xr) assoziierte Ideal p eine Hohe kleiner gleich r. Beweis. In der Lokalisierung Ap wird das Ideal (x1, . . . , xr) pe-primar. Also r dim Ap = Hohe von p. Korollar 3.14. (Hauptidealsatz von Krull) Sei A ein neotherscher Ring, x A weder Nullteiler noch Einheit. Dann ist die Hohe jedes minimalen Primideals, das (x) enthalt, gleich 1. Beweis. Nach dem letzen Korollar ist die Hohe kleiner gleich 1. Ware die Hohe von p = 0, so ist p assoziiert zum 0-Ideal. Denn ein minimales Primideal ist auf jeden Fall in p enthalten, aus Hohe 0 folgt dann Gleichheit. Daraus folgt p 0 pk fur ein k. Also sind alle Elemente Nullteiler. Widerspruch zu x p. 10 11. Korollar 3.15. Sei A ein noetherscher lokaler Ring, x m kein Nullteiler. Dann ist dim A/(x) = dim A 1. Beweis. Sei d = dim A/(x). Mit (3.5) und (3.2) folgt sofort: d dim A 1. Sei nun x1, . . . , xd Elemente aus m, deren Bilder in A/(x) ein m/(x)-primares Ideal erzeugen. Dann ist das Ideal (x, x1, . . . , xr) von A m-primar, also d + 1 dim A. Korollar 3.16. Sei A die m-adische Komplettierung von A. Dann ist dim A = dim A. Oder mit anderen Worten D1 ist erfullt. Beweis. A/mn = A/mn also gilt m(n) = m(n). Denition 3.17. Sei x1, . . . , xd ein Erzeugendensystem eines m-primaren Ideals. Falls d = dim A, wird x1, . . . , xd ein System von Parametern genannt. Satz 3.18. Sei x1, . . . , xd ein System von Parametern fur einen noetherschen lokalen Ring A und q das von ihnen erzeugte m-primare Ideal. Sei f(t1, . . . , td) = ||=s ax ein homogenes Polynom vom Grade s mit Koezienten in A. Falls nun f(x1, . . . , xd) qs+1 (33) dann liegen alle Koezienten von f in m. Beweis. Wir haben einen Epimorphismus von graduierten Ringen: : (A/q)[t1, . . . , ts] Gq(A) = n=0 qn/qn+1, ti xi mod q2, 1 (1, 0, 0, . . .) A/q q/q2 . . . (34) Nach Vorraussetzung liegt die Nebenklasse von f modulo q im Kern von . Es gilt namlich (f(t1, . . . , td)) = ( ||=s at) = ||=s ax wobei a A/q und x q/q2, somit x qs/qs+1. Wenn nun also f(x1, . . . , xd) qs+1 so gehen alle Summanden von f in Gq(A) auf die Null. Angenommen ein Koezient liegt nicht im maximalen Ideal, ist also eine Einheit. Dann ist f kein Nullteiler in A/q (Kapitel 1, Aufgabe 3). Dann haben wir also: d = d(Gq(A)) d((A/q)[t1, . . . , td]/(f)) weil f Kern = d((A/q)[t1, . . . , td]) 1 weil f kein Nullteiler (2.10) = d 1 mit dem Beispiel nach (2.10) (35) Das ist ein Widerspruch. Korollar 3.19. Sei A, m ein noetherscher lokaler Ring, k A ein Korper der isomorph zu A/m ist (zum Beispiel eine Lokalisierung des Polynomrings nach maximalem Ideal), x1, . . . , xd ein System von Parametern, dann sind die xi algebraisch unabhangig. Beweis. Angenommen f(x1, . . . , xd) = 0, wobei f = 0 ein Polynom mit Koezienten in k. Wir konnen f in der Form f = fs+hohere Terme schreiben. Wobei s der kleinste Grad eines Terms und fs = 0 homogen vom Grad s. Dann ist fs(x1, . . . , xd) = 0 hohere Terme qs+1. Mit dem letzten Satz folgt, dass die Koezienten von fs alle in m liegen. Da die Koezienzten alle im Korper k lagen, folgt fs 0. Widerspruch. 11 12. 4 Regulare Lokale Ringe Die regularen lokalen Ringe in der kommutativen Algebra entsprechen den nicht singularen Punkten einer Varietat in der algebraischen Geometrie. Satz 4.1. Sei A, m ein noetherscher lokaler Ring der Dimension d, k = A/m der Restklas- senkorper. Die folgenden Aussagen sind aquivalent: 1. Gm(A) = k[t1, . . . , td] wobei ti algebraisch unabhangig. 2. dimk(m/m2) = d 3. m kann von d Elementen erzeugt werden. Erfullt ein Ring eine (und damit alle) dieser Bedingungen, so heite er auch regular. Beweis. 1.2. : klar, da m = (t1, . . . , td) mit Hilbertschem Nullstellensatz und weiter wird m/m2=Menge der Polynome von Grad 1 als k-VR genau von den ti erzeugt. 2.3. : Wie bei (3.12). Jede Basis von m/m2 erzeugt ganz m. 3.1. : Sei m = (x1, . . . , xd), dann ist die Abbildung : k[x1, . . . , xd] Gm(A), xi xi mod m2 (36) ein Isomorphismus. Surjektivitat ist klar. Seien f, g homogen vom Grad s, mit f = g. Das ist aquivalent zu f(x1, . . . , xd) g(x1, . . . , xd) ms+1. Mit (3.18) folgt wieder, dass f g = 0. Damit ist gezeigt, dass ein Isomorphismus auf den einzelnen Summanden ist. Also auch auf den ganzen graduierten Ringen. Lemma 4.2. Sei A ein Ring, a A ein Ideal mit n=0 an = {0}. Dann gilt: Ga(A) ist Integritatsbereich, A ist Integritatsbereich. Beweis. Seien x, y = 0 zwei Elemente aus A. Da n an = 0 folgt, es existieren r, s 0 mit x arar+1 und y asas+1. Betrachte nun die Bilder x und y von x und y in ar/ar+1 bzw. as/as+1. Diese sind nach Voraussetzung ungleich 0 und da Ga(A) Integritatsbereich, folgt auch xy = 0, also xy = 0. Korollar 4.3. Jeder regulare lokale Ring ist ein Integritatsbereich. Korollar 4.4. Die regularen lokalen Ringe der Dimension 1 sind genau die diskreten Bewer- tungsringe. Beweis. A regularer lokaler Ring der Dimension 1 dimk m/m2 = 1 A diskreter Bewer- tungsring. Mit (4.1), (4.3) und (9.2). Und nun noch ein wichtiger Satz, der uns sichert, dass unsere Intuition richtig bleibt. Satz 4.5. Sei A, m ein noetherscher lokaler Ring. Dann ist A regular genau dann, wenn A regular. Beweis. Nach (10.16) ist A lokal mit maximalem Ideal m und (10.26) stellt sicher, dass A noethersch bleibt. In (3.16) hatten wir weiter gezeigt, dass dim A = dim A und in (10.22) steht, dass Ga(A) = Ga A was mit (4.1) die Behauptung beweist. 12 13. Satz 4.6. Sei f k[x1, . . . , xn] ein Polynom uber einem algebraisch abgeschlossenem Korper k, A := k[x1, . . . , xn]/(f). Die durch f denierte Varietat hat am Punkt P = (P1, . . . , Pn) kn eine Singularitat, falls dort alle partiellen Ableitungen f xi verschwinden. Sei m = (x P1, . . . , x Pn) das zu P gehorige maximale Ideal. Dann gilt: Am ist genau dann regular, wenn V (f) an P nicht singular ist. Beweis. Sei zunachst o.E. P = 0. Wir werden nun der Reihe nach zeigen: Amregular dimk m/m2 = dim Am = n 1 f / m2 Es existiert ein i , so dass: f/xi = 0 (37) (m := mAm das maximale Ideal in der Lokalisierung). Die erste Aquivalenz folgt aus der Deni- tion von regular und dem Hauptidealsatz von Krull. Es ist m/m2 = m/m2 + (f). Falls nun f m2, so geht (f) im Faktorring auf die 0 und m/m2 wird durch die Elemente x1, . . . , xn als k-Vektorraum erzeugt.Es folgt dimk(m/m2). Ist f = s ||=0 f x / m2, so ist wenigstens ein f mit || = 1 ungleich Null. Wir konnen nun eines der xi als Linearkombination der anderen darstellen: xj = 1/aj(f i=j fixi hohere Terme) reduzieren wir diese Gleichung modulo f, m2 erhalten wir xj = 1/aj i=j fixi. Wir erhalten dimk m/m2 = n 1. Ist f singular an der 0, so gilt f xi (0) = ( s ||=0 f i x1 xi1 xn )(0) = f(0,...,1,...,0) = 0 fur alle i (38) und da f(0) = f=0 = 0 folgt: f singular f m2. 5 Transzendente Dimension Sei A = k[x1, . . . , xn] der Polynomring in n Variablen Korper k und p A ein Primideal. Durch p wird eine irreduzible ane Varietat V = V (p) = {P kn | f(P) = 0} deniert. Der Ring A/p =: A(V ) wird Koordinatenring von V genannt und der Quotientenkorper k(V ) = Q(A(V )) heit auch Korper der rationalen Funktionen auf V. War unser Prim- ideal schon ein maximales Ideal, so erhalten wir nach dem Hilbertschem Nullstellensatz eine algebraische Erweiterung unseres Grundkorpers. War p ein echtes Primideal, so haben wir einen transzendenten Anteil. Wir werden sehen, dass der Transzendenzgrad dieser Korpererweiterung k K mit unserem bisherigen Dimensionsbegri zusammenfallt. Das ist auch der Grund, wes- halb diese Zahl auch Dimension der Varietat V (t-dim V ) genannt wird. Nehmen wir z.B. A = C[x, y], p = (x). Dann ist A/p = C[y] und Q(A/p) = C(y) hat also Transzendenzgrad 1. Die Dimension der Lokalisierung C[y](ya) an einem maximalen Ideal ist ebenfalls 1. Im folgenden sei k stets algebraisch abgeschlossen. Satz 5.1. Sei V eine irreduzible ane Varietat, P V ein Punkt, dann ist t-dim V = tr-deg k(V ) gleich der Dimension des noetherschen lokalen Rings A(V )m wobei m das zu P gehorige maximale Ideal ist. Wir schicken zunachst ein Lemma vorran: 13 14. Lemma 5.2. Sei B A eine ganze Ringerweiterung, B algebraisch abgeschlossen, A, B Inte- gritatsbereiche. Sei m ein maximales Ideal von A, und n = m B. Dann ist n maximal und dim Am = dim Bm (Krull-Dimension). Beweis. Nach (5.8) ist n maximal. Jede von m strikt absteigende Kette von Primidealen geht durch Schnitt mit B in eine strikt von n absteigende Kette von Primidealen in A uber (5.9). Also gilt dim Bn dim Am. Haben wir nun umgekehrt eine strikt von n absteigende Kette in B, so konnen wir sie mit dem Going down Theorem nach A liften, wobei die echten Inklusionen erhalten bleiben. Das zeigt dim Bn dim Am. Beweis. von (5.1). Nach dem Noethernormalisierungslemma konnen wir einen Polynomring P = k[x1, . . . , xd] in A(V ) nden, so dass P A(V ) eine ganze Ringerweiterrung ist. k[x1, . . . , xd] ganz A(V ) k(x1, . . . , xd) k(V ) (39) Wir wollen zunachst zeigen, dass k(x1, . . . , xd) k(V ) eine algebraische Korpererweiterung ist. Sei a/b k(V ) also a, b A(V ), b = 0. Es gibt nach Vorraussetzung normierte Polynome p, q mit Koezienten in A(V ) mit p(a) = p(b) = 0. Fassen wir dies als eine Gleichung in k(V ) auf, so erhalten wir: a, b algebraisch uber k(x1, . . . , xd). Somit auch a/b. Es folgt, dass der Transzendenzgrad von k(V ) uber k gleich dem von k(x1, . . . , xd) also d ist. Wir zeigen nun, dass auch die Krulldimension von A(V )m d gleicht. P ist als faktorieller Ring ganz abgeschlossen, wir konnen also (5.2) anwenden. Damit folgt dim A(V )m = dim Pn mit n P maximal. n = (x1 a1, . . . , xd ad) nach dem Hilbertschen Nullstellensatz und durch eine lineare Transformation konnen wir n und das Ideal (x1, . . . , xd) uberfuhren. Doch wir haben bereits gesehen, dass k[x1, . . . , xd](x1,...,xd) die Dimension d hat. 14