Dimension und Multiplizitt von D-Moduln

  • Published on
    25-Jun-2015

  • View
    33

  • Download
    0

DESCRIPTION

Notes for a Seminar Talk in Mainz

Transcript

  • 1. Dimension und Multiplizitat Heinrich Hartmann Juni 2006 Generalvorraussetzungen. Im gesamten Vortrag bezeichne k einen Korper der Charakteristik 0.Es sei k[x1, . . . , xn] der Polynomring und An(k) = k < x1, . . . , xn, 1, . . . , n > die Weil Algebra in n Variablen mit der kanonischen Filtration Ti = k Denition 1. Eine graduierte k-Algebra ist ein Ring S zusammen mit einer Zerlegung S = i=0 Si als (additive) ablsche Gruppe, mit: s Si, t Sj st Si+j Eine graduierter Modul uber S ist ein S-Modul M zusammen mit einer Zerlegung M = i=0 Mi als ablsche Gruppe, mit: s Si, m Mj sm Si+j Beispiel 2. k[x1, . . . , xn] = i=0 k < x | || = i > ist ein graduierte k-Algebra. Satz 3. Sei M = i=0 Mi eine endlicher graduierter k[x1, . . . , xn]-Modul. Dann existiert ein Polynom P Q[X] so, dass i j=0 dimk(Mj) = P(i) fur alle i >> 0. Beweis. Induktion nach n, der Anzahl der Variablen xi. Sei n = 0. Nach Vorraussetzung ist M ein endlich dimensionaler k-Vektorraum. Also konnen nur endlich viele Mi unglich 0 sein. Es ist damit i j=0 dimk(Mj) = dimk M fur alle i >> 0. Sei die Behauptung fur endliche k[x1, . . . , xn1]-Moduln bereits gezeigt. Sei nun M = i=0 Mi ein endlicher k[x1, . . . , xn]-Modul. Setze K := ker(xn : M M) M und N := M/xnM. Sowohl K als auch N sind endliche k[x1, . . . , xn]-Moduln und da sie von xn annulliert werden, sind sie bereits endliche k[x1, . . . , xn1]-Moduln. Da xn homogen (vom Grad 1) tragen sie auerdem eine naturliuche Graduierung: K = i=0(Mi K) =: i=0 Ki und N = i=0(Mi/xnMi1) =: i=0 Ni. Damit ist die Induktionsverraussetzung fur N und K erfullt. Seien nun P, Q Q[X] Polynome mit i j=0 dimk(Kj) = P(i) und i j=0 dimk(Nj) = Q(i) fur alle i >> 0. Damit ist auch dimk Ki = P(i) P(i 1) =: p(i) und dimk Ni = Q(i) Q(i 1) =: q(i) fur groe i durch ein Polynom gegeben. Wir haben fur i N0 exakte Sequenzen: 0 Ki Mi xnMi 0 0 xnMi Mi+1 Ni+1 0 1

2. Also gilt: dimk Mi = dimk Ki + dimk xnMi und dimk Mi+1 = dimk xnMi + dimk Ni+1. Subtrahiert man die beiden Gleichungen so erhalt man: dimk Mi+1dimk Mi = dimk Ni+1dimk Ki = p(i+1) q(i) =: h(i) mit einem Polynom h Q[X]. Nach dem nachsten Lemma ist nun das diskrete Integral H(j) = i1 j=0 h(j) = dimk Mi von h wieder ein rationales Polynom womit der Satz bewiesen ist. Lemma 4. (vgl. Hartshorne Algebraic Geometry, S.49) Ein numerisches Polynom ist ein Polynom P Q[X] mit der Eigenschaft, dass P(n) Z fur groe n N. 1. Ist P ein solches, dann gibt es ganze Zahlen c0, . . . , cr sodass: P(X) = c0 X r + c1 X r 1 + + cr (1) Insbesondere ist P(n) Z fur alle n Z. 2. Ist f : Z Z eine beliebige Funktion, deren Dierenzfunktion f := f(n + 1) f(n) ein numerisches Polynom Q(n) ist. So ist auch f selbst ein numerisches Polynom P(n) fur groe n. Beweis. zu 1. Mit Induktion nach dem Grad von P. Fur grad Null ist die Behauptung trivial. Da x r = xr/r! + . . . konnen wir P auf jeden Fall in der obigen Form schreiben, falls wir ci aus Q wahlen. Betrachten wir nun P(x) = P(x + 1) P(x), so erhalten wir mit x r = x r1 : P = c0 x r 1 + c1 x r 2 + + cr (2) Dies ist nun ein numerisches Polynom vom Grad r 1, nach Induktionsvorraussetzung sind also c0, . . . , cr1 Z. Doch nun folgt sofort cr Z, da P(n) ganzzahlig wird fur groe n. zu 2. Schreibe Q wie in (1), dann setze P = c0 x r + 1 + c1 x r + + cr x 1 (3) Nun ist P = Q, und damit (f P)(n) = 0 fur groe n. Also ist (f P) eine Konstante cr+1 fur groe n und es gilt f = P + cr+1. Denition 5. Sei M = i=0 Mi eine endlicher graduierter k[x1, . . . , xn]-Modul. Das Polynom P = adXd + + a0 aus dem letzten Satz heit Hilbertpolynom von M. Wir sagen Grad(P) =: d(M) ist die Dimension und die ganze Zahl(!) d! ad =: e(M) die Multiplizitat von M. Bemerkung 6. Aus dem Beweis des Satzes folgt, dass d(M) n der Anzahl der Variablen xi. Korollar 7. Sei eine gute Filtration eines (endlichen) An(k)-Linksmoduls M. Dann existiert ein Polynom P Q[X] mit dimk i = P(i) fur groe i. Beweis. gr(M) ist ein endlicher graduierter k[x1, . . . , xn]-Modul und da gr(M) = M als k- Vektorraum folgt die Behauptung. Wir wollen nun Dimension und Multiplizitat fur einen endlichen An(k)-Modul denieren. Dazu mussen wir sicherstellen, dass Grad und Leitkoezient von P nicht von der gewahlten Filtration abhangen. Lemma 8. Seien , zweit gute Filtrationen eines An(k)-Linksmoduls M. Dann gibt es eine Zahl b N0 mit ib i i+b. 2 3. Beweis. Es reicht i i+b fur ein geeignetes b N0 zu zeigen. Da eine gute Filtration ist gibt es eine Zahl a N so, dass gr(M) von (0) (a) als gr(An(k))-Modul erzeugt wird. Wahlt man nun m ii1 fur i a so ist (m) T (i)(0) + + T (i a)(a) (wobei : i (i) = i/i1 die kanonische Projektion bezeichnet). Setzen wir nun Ri := Ti0 + + Tiaa so gilt demnach i Ri + i1 fur alle i a. (Wahle ein Urbild m von (m) in Ri, dann ist (m m ) = 0 und m unterscheidet sich von m durch ein Element von Ker() = i1) Da fur j i : Rj Ri und a = Ra folgt induktiv sogar: i a : i Ri. Betrachte nun (i a)i ist eine aufsteigende Folge von Unterraumen des endlich dimensionalen k-Vektorraums a und da i = M gibt es eine Zahl b N mit a b. Ist nun 0 j a und i a so ist Tajj Taja Tajb a+b und damit i Ri a+b fur alle i a. Zusammengefasst gilt also fur i < a: i a Ra b a+b was das Lemma beweist. Denition 9. Sei M ein endlicher An(k)-Linksmodul. Wahle eine gute Filtration . Nach Korollar7 ist dimk i fur groe i durch ein Polynom P(X) = adXd + +a0 gegeben, dessen Grad und Leit- koezient nach Lemma 8 nicht von der gewahlten Filtration abhangen. Setze also die Dimension d(M) := d und die Multiplizitat e(M) := d! a0. Satz 10. Sei 0 M M M 0 eine exakte Sequenz endlicher An(k)-Linksmoduln. Dann gilt: d(M) = max{d(M ), d(M )} und falls d(M) = d(M ) = d(M ) so ist e(M) = e(M ) + e(M) . Beweis. Sei eine gute Filtration von M. induziert vermoge i := i M und i := i/i Filtrationen auf M bzw. M . Insbesondere ist 0 i i i 0 eine exakte Seqenz von endlichen k-Vektorraumen und somit dimk i = dimk i + dimk i . Es reicht also zu zeigen, dass und gute Filtrationen sind. Denn dann folgen aus P = P + P die Behaupteten Relationen der Grade und Leitkoezienten. Betrachte dazu 0 gr (M ) gr(M) gr (M ) 0. Diese exakte Sequenz von gr(An(k))- Moduln ist exakt, nach Denition von und . Da gute Filtration folgt gr(M) endlich und da gr(An(k)) noethersch sind auch gr (M ) und gr (M ) endliche gr(An(k))-Moduln. Das ist aber aquivalent zu , gut, was zu zeigen war. 3