Zur Konstruktion von Hahn-Ternärkörpern als Ternärkörper formaler Potenzreihen

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    03-Aug-2016

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  • Zur Konstruktion von Hahn-Ternrkrpern alsTernrkrper formaler Potenzreihen

    ERWIN SCHRNERMathematisches Institut der Universitt Mnchen, Theresienstrae 39, D^80333 Munich,Germay; e-mail: schoerner@rz.mathematik.uni-muenchen.de

    (Received: 19 March 1999)

    Communicated by K. Strambach.

    Abstract. We endow the set of all formal power series with coefcients in a ternary eld andexponents in a totally ordered loop with a ternary eld operation such that a uniform valuationis given by the natural ultrametric distance. Any ordering of the coefcient ternary eld canbe extended to an orderingof theHahn ternary eldwhich is compatible with the givenvaluation.

    Mathematics Subject Classications (2000). 51A25, 12K99, 54H25.

    Key words: Hahn ternary eld, ternary eld of formal power series, (generalized) factor system,uniform valuation, ultrametric common point theorem, ordered ternary eld.

    Abstract. Auf der Menge aller formalen Potenzreihen mit Koefzienten in einemTernrkrperund Exponenten in einer total geordneten Loop wird eine Ternrkrperverknpfung derarterklrt, da die natrliche Ultrametrik eine uniforme Bewertung des resultierendenTernrkrpers induziert. Jede Anordnung des Koefziententernrkrpers lt sich dabeibewertungsvertrglich auf den Hahn-Ternrkrper fortsetzen.

    Key words: Hahn-Ternkrper, Ternrkrper formaler Potenzreihen, (verallgemeinertes)Fktorsystem, uniforme Bewertung, ultrmetrischer Schnittpunktsatz, angeordneterTernrkrper.

    Fr eine Menge K , die neben dem Element 0 noch wenigstens ein weiteres Elemententhalten soll, und eine nichtleere total geordnete Menge G; W betrachten wirdie Menge

    H ff : G! K j Trf dual wohlgeordnetg;

    wobei Trf fg 2 G j fg 6 0g den Trger der formalen Potenzreihe f 2 Hbezeichnet, die durch f Pg fgtg mit fg fg fr g 2 G unter Verwendung derUnbestimmten t symbolisch dargestellt wird. Unter der Schreibweise ftg

    fr

    f 2 K und g 2 G wollen wir die formale Potenzreihe f mit

    fg f f ur g g

    0 f ur g 6 g

    Geometriae Dedicata 80: 157^171, 2000. 157# 2000 Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.

  • verstehen. Die Abbildung

    dH : HH 3 f; g7! Maxfg 2 G j fg 6 ggg f ur f 6g0 f ur f g

    2 G0

    mit G0 G [ f0g und 0 < g fr alle g 2 G stellt eine Ultrametrik auf H dar; denultrametrischen Raum H; dH;G0 nennt man Hahnraum. Fr eine detaillierteDarstellung der Theorie der ultrametrischen Rume im allgemeinen und derHahnrume im besonderen verweisen wir auf [7] und [8]. H; dH;G0 ist sphrischvollstndig, weswegen uns der Schnittpunktsatz [9, Theorem 6] von Prie-Crampeund Ribenboim zur Verfgung steht, den wir in der folgenden Form verwendenwerden: Gilt fr zwei Abbildungen F , G : H! H, wobei G surjektiv sei, dieKontraktionseigenschaft dHF x;F y < dHGx;Gy fr alle x, y 2 H mitx 6 y, so existiert ein z 2 H mit F z Gz.Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist es nun, ausgehend von einem TernrkrperK;S; 0; 1 und einer total geordneten Loop G; ; e; W auf H eine ternreVerknpfung T derart zu erklren, da H;T ; 0; 1 mit 0 0 te und 1 1 te einTernrkrper ist und uH : H 3 f 7! dHf; 0 2 G0 eine uniforme Bewertung vonH;T im Sinne Kalhoffs darstellt. Das Konzept der uniformen Bewertungeinschlielich ihrer denierenden Eigenschaften (V1) bis (V4) entnehmen wir [2];mit AH ff 2 H j uHfW eg und MH ff 2 H j uHf < eg ist also AH=MH derRestklassenternrkrper von H; uH;G0. Trgt der Koefziententernrkrper Keine Anordnung W , so kann diese auf den Hahn-Ternrkrper H fortgesetztwerden, wobei sich uH als ordnungsvertrglich herausstellt. Bei der Axiomatisierungdes Ternrkrpers bzw. seiner Anordnung verwenden wir die Bezeichnungsweise(T1) bis (T5) bzw. (M1) und (M2) von [6].Um eine breitere Klasse von Ternrkrpern zu erhalten, sttzen wir uns bei der

    Denition von T nicht allein auf die Ternrkrperverknpfung S, sondern lassenin Anlehnung an die entsprechenden Konstruktionen von Kaplansky bei Krpern([4, S. 315ff]) und von Neumann bei Schiefkrpern ([5, S. 209ff]) auch Faktorsystemezu. Dabei heit eine Familie C Ca;ba;b2G von ternren VerknpfungenCa;b : K K K ! K (verallgemeinertes) Faktorsystem zu K;S; 0; 1 undG; ; e; W , falls fr alle a, b 2 G die folgenden Eigenschaften gelten:

    (F0) Ce;e S.(F1) Fr alle m, n, c, d 2 K mit m 6 n gibt es genau ein x 2 K mit Ca;bm; x; c

    Ca;bn; x; d.(F2) Fr alle m, x, y 2 K gibt es genau ein c 2 K mit Ca;bm; x; c y.(F3) Fr alle x, u, y, z 2 K mit x 6 u gibt es m, c 2 K mit Ca;bm; x; c y und

    Ca;bm; u; c z.(F4) Fr alle m, x, c 2 K ist Ca;bm; 0; c c und Ca;b0; x; c c.(F5) Fr alle m, x 2 K ist Ca;em; 1; 0 m und Ce;b1; x; 0 x.

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  • Whrend (F0) die kanonische Einbettbarkeit von K;S in H;T sichern wird,entsprechen (F1) bis (F4) genau (T1) bis (T4), und (F5) enthlt die Forderungvon (T5) fr Spezialflle. Gilt Ca;b S fr alle a, b 2 G, so heit C trivial.Zur Denition von T seien m Pamata, x Pb xbtb und c Pg cgtg drei

    beliebige formale Potenzreihen von H. Fr jedes g 2 G betrachten wirSgm; x fa; b 2 Trm Trx j ab gg

    als Teilmenge von bSg fa; b 2 G G j ab gg, wobei sich verschiedene Elementevon bSg offenbar schon in jeder der beiden Komponenten unterscheiden. Nun istSg, wie wir Sgm; x, sind Miverstndnisse ausgeschlossen, abkrzend schreibenwollen, entweder leer oder bezglich, wobei a; b a0; b0 genau fr aW a0 gesetztwird, vermge der isotonen Abbildung Sg 3 a; b 7! a 2 Trm dual wohlgeordnet,vermge der antitonen Abbildung Sg 3 a; b 7! b 2 Trx aber auch wohlgeordnetund damit endlich. Somit ist Sg fai; bi j 1W iW ng fr ein n 2N0, wobeia1 > . . . > ai > . . . > an gelte, und wir denieren mit yn1 cg induktiv

    yn Can;bn man ; xbn ; yn1... ..

    .

    yi Cai;bi mai ; xbi ; yi1... ..

    .

    yg y1 Ca1;b1 ma1 ; xb1 ; y2

    Es sei bemerkt, da wir anstelle von Sg jede endliche Menge eSg mit Sg eSg bSgzur Denition von yg heranziehen drfen, da fr alle ea;eb 2 eSg n Sg stetsea =2 Trm oder eb =2 Trx, also m~a 0 oder x ~b 0 gilt und somit gem (F4) derWert von yg von der Wahl der endlichen MengeeSg mit Sg eSg bSg unabhngig ist.Aus yg 6 0 folgt g 2 TrmTrx [ Trc; im Falle Sg ; ist nmlich n 0 und

    cg yg, und fr Sg 6 ; gilt stets g 2 TrmTrx. Damit ist der Trger der Abbildungy : G 3 g 7! yg 2 K Teilmenge der dual wohlgeordneten Menge TrmTrx [ Trc,also auch selbst dual wohlgeordnet. Demnach gilt y 2 H, und

    T : HHH 3 m; x; c 7! y 2 Hstellt eine ternre Verknpfung auf H dar.Der Denition von T entnimmt man zwei ntzliche Rechenregeln zum ``Aufteilen

    des Trgers'': ist f 2 H eine formale Potenzreihe und D G eine Teilmenge, sodeniert

    fDg fg f ur g2 D0 f ur g =2 D

    wegen TrfD Trf \ D eine formale Potenzreihe fD; betrachten wir nun spezielleinen Rumpf D G, mit jedem d 2 D enthlt D also auch alle g 2 G mit gW d,

    ZUR KONSTRUKTION VON HAHN-TERNA RKO RPERN 159

  • und den zugehrigen Kopf CD G n D, mit jedem d 2 CD liegen also auch alle g 2 Gmit gX d in CD, so erhalten wir

    LEMMA 1. Fr alle m, x, c 2 H und jeden Rumpf D G gilt:(1) T m; x; c T mCD; x;T mD; x; c:(2) T m; x; c T m; xD;T m; xCD; c:Beweis. Seienm Pamata, x Pb xbtb, c Pg cgtg 2 H. In 1. gilt fr jedes g 2 G

    wegen Trm TrmCD _[ TrmDSgmCD; x _[ SgmD; x Sgm; x;

    sei SgmCD; x fai; bi j 1W iW kg und SgmD; x faj; bj j k < jW ng mit0W kW n und, da D G ein Rumpf ist, a1 > . . . > ai > . . . > ak > ak1> . . . > aj > . . . > an. Mit yn1 cg ist

    yn Can;bn man ; xbn ; yn1... ..

    .

    yj Caj ;bj maj ; xbj ; yj1... ..

    .

    yk1 Cak1;bk1 mak1 ; xbk1 ; yk2yk Cak;bkmak ; xbk ; yk1

    ..

    . ...

    yi Cai;bi mai ; xbi ; yi1... ..

    .

    y1 Ca1;b1 ma1 ; xb1 ; y2und damit einerseits T m; x; cg y1 und andererseits T mD; x; cg yk1 undT mCD; x;T mD; x; cg y1, womit der Beweis von 1. abgeschlossen ist; 2. ergibtsich analog. &

    Zum Beweis der eingangs erwhnten und in Satz 6 konkretisierten Aussagen lassensich die von Kalhoff in [3, S. 330ff] fr Cartesische Gruppen verwendeten Methodenim wesentlichen auf die hier vorliegende Ternrkrpersituation verallgemeinern,doch wollen wir bei der berwindung der Hauptschwierigkeit, nmlich demNachweis von (T1), einen krzeren und weniger technischen Weg unterZuhilfenahme des Schnittpunktsatzes von Prie-Crampe und Ribenboimbeschreiten. Wir beginnen zunchst mit einigen Rechenregeln fr dH, die wesentlicheEigenschaften einer uniformen Bewertung darstellen.

    LEMMA 2. Fr m, n, x, u, c, d 2 H mit T m; x; c T n; x; d gilt:(1) dHT m; x; c;T m; x; d dHc; d:(2) dHT m; u; c;T n; u; d dHm; n dHx; u:

    160 ERWIN SCHRNER

  • Beweis. Seien m Pamata, n Pa nata, x Pb xbtb, u Pb ubtb, c Pg cgtgund d Pg dgtg 2 H.Fr 1. darf o. E. c 6 d angenommen werden; sei g dHc; d 2 G sowie

    y T m; x; c und z T m; x; d. Gem der Denition von T ist fr alle g 2 Gaufgrund der Eindeutigkeitsaussage in (F2) cg dg nicht nur hinreichend, sondernauch notwendig fr yg zg. Demnach gilt yg zg fr alle g > g bei yg 6 zg , worausman dHy; z g erhlt.Fr 2. knnen wir o. E. neben x 6 u auch m 6 n annehmen, da aus m n mit 1.

    wegen dHc; d dHT m; x; c;T m; x; d 0 auch c d und damit T m; u; c T n; u; d folgt; seien dHm; n a 2 G und dHx; u b 2 G sowiey T mD; x; c, y0 T nD; x; d, z T mD; u; c und z0 T nD; u; d fr den RumpfD GW a G.Fr g 2 G betrachten wir die Menge

    eSg fa; b 2 TrmD [ TrnD Trx [ Tru j ab gg;die offensichtlich SgmD; x, SgnD; x, SgmD; u und SgnD; u enthlt. SeieSg fai; bi j 1W iW kg mit a1 > . . . > ai > . . . > ak fr ein k 2N0. Mit yk1 zk1 cg und y0k1 z0k1 dg sind

    yk Cak;bk mak ; xbk ; yk1 y0k Cak;bk nak ; xbk ; y0k1... ..

    . ... ..

    .

    yi Cai;bi mai ; xbi ; yi1 y0i Cai;bi nai ; xbi ; y0i1... ..

    . ... ..

    .

    y1 Ca1;b1ma1 ; xb1 ; y2 y01 Ca1;b1 na1 ; xb1 ; y02

    und

    zk Cak;bk mak ; ubk ; zk1 z0k Cak;bknak ; ubk ; z0k1... ..

    . ... ..

    .

    zi Cai;bi mai ; ubi ; zi1 z0i Cai;bi nai ; ubi ; z0i1... ..

    . ... ..

    .

    z1 Ca1;b1ma1 ; ub1 ; z2 z01 Ca1;b1 na1 ; ub1 ; z02

    mit yg y1, y0g y01, zg z1 und z0g z01. Mit Lemma 1 gilt T mCD; x; y T m; x; c T n; x; d T nCD; x; y0, woraus wegen mCD nCD mit 1. nun y y0und damit y1 y01 folgt.Im Falle g > ab knnen wir von aibi g > abX aib, also bi > b, auf

    xbi ubi fr alle 1W iW k und damit auf y1 z1 und y01 z01 schlieen, worauszg z1 z01 z0g folgt.

    ZUR KONSTRUKTION VON HAHN-TERNA RKO RPERN 161

  • Fr g ab ist a; b a1; b1, analog zu oben gilt xbi ubi fr alle 1 < iW kund damit y2 z2 sowie y02 z02. Glte nun z1 z01, knnte man aus

    Ca1;b1ma1 ; xb1 ; y2 Ca1;b1na1 ; xb1 ; y02;Ca1;b1 ma1 ; ub1 ; y2 Ca1;b1na1 ; ub1 ; y02;

    mit der Eindeutigkeitsaussage in (F1) wegen ma1 ma 6 na na1 auf xb1 ub1 imWiderspruch zu b1 b dHx; u schlieen. Damit ist dHz; z0 ab gezeigt,wobei mit Lemma 1 T m; u; c T mCD; u; z und T n; u; d T nCD; u; z0 sowiewegen mCD nCD schlielich dHT m; u; c;T n; u; d dHz; z0 aufgrund von 1.gilt. &Das nchste Lemma nimmt die leichter zu verizierenden Ternrkrperaxiome

    (T2), (T4) und (T5) fr H;T vorweg, damit sie uns im folgenden zur Verfgungstehen.

    LEMMA 3. H;T ; 0; 1 gengt (T2), (T4) und (T5).Beweis. Zum Nachweis von (T2) seien m Pamata, x Pb xbtb und

    y Pg ygtg 2 H sowie g 2 G. Es ist Sgm; x fai; bi j 1W iW ng fr ein n 2N0mit a1 > . . . > ai > . . . > an. Mit y1 yg deniert man induktiv yi1 2 K durchCai;bi mai ; xbi ; yi1 yi fr alle 1W iW n, deren Existenz durch (F2) gesichert ist,sowie cg yn1; wir haben also

    Ca1;b1 ma1 ; xb1 ; y2 y1 yg... ..

    .

    Cai;bi mai ; xbi ; yi1 yi... ..

    .

    Can;bnman ; xbn ; yn1 yn mit cg yn1:Aus cg 6 0 folgt jetzt g 2 TrmTrx [ Try; im Falle Sg ;, also bei n 0, istyg cg, und fr Sg 6 ; gilt ja immer g 2 TrmTrx. Damit besitzt die Abbildungc : G 3 g 7! cg 2 K einen dual wohlgeordneten Trger, und c 2 H gengt, wieman obigem Schema entnimmt, T m; x; c y. Ist auch d 2 H mit T m; x; d y,so folgt gem Lemma 2.1 wegen dHc; d dHT m; x; c;T m; x; d 0 sofortc d.Fr (T4) und (T5) seien m Pamata, x Pb xbtb, c Pg cgtg 2 H. Sei zunchst

    y T 0; x; c; fr jedes g 2 G gilt Sg ; und somit yg cg, was in y c dasGewnschte liefert; analog gilt T m; 0; c c. Sei nun y T m; 1; 0; fr jedesg 2 G gilt Sg fg; eg und demnach yg Cg;emg; 1; 0 mg, woraus y m folgt;ebenso ist T 1; x; 0 x. &

    Mit den Lemmata 2 und 3 ergibt sich dHT m; x; c; T m; u; c uHm dHx; ufr alle m, x, u, c 2 H, denn mit d T m; x; c ist T m; x; c T 0; x; d undfolgedessen dHT m; u; c;T 0; u; d dHm; 0 dHx; u mit T 0; u; d d. Mitdieser Rechenregel zeigen wir nun

    162 ERWIN SCHRNER

  • LEMMA 4. H;T ; 0; 1 gengt (T1).Beweis. Seien m Pamata, n Pa nata, c Pg cgtg und d Pg dgtg 2 H mit

    m 6 n; fr dHm; n a 2 G betrachten wir m mata und n nata sowiedie Rmpfe D GW a und D0 G

  • spruchsannahme Ggab Ghab y mit Lemma 1Ca;b na ; gb ; z Ca;b ma ; gb ; y;Ca;b na ; hb ; z Ca;b ma ; hb ; y;

    erhlt, was wegen ma 6 na mit der Eindeutigkeitsaussage in (F1) auf gb hb imWiderspruch zu b dHg; h fhrt. Demnach gilt Ggab 6 Ghab unddamit in dHGg;GhX ab > dHFg;Fh die Kontraktionseigenschaft fr F undG, und gem dem Schnittpunktsatz existiert ein x 2 H mit Fx Gx. MitLemma 1 gilt also T nD; x; d T m; x;Gx T m; x;T mD0 ; x; c T mD; x; cund wegen mCD nCD somit T m; x; c T mCD; x;T mD; x; c T nCD; x;T nD; x; d T n; x; d.Fr jedes u 2 H mit T m; u; c T n; u; d erhlt man nun mit Lemma 2

    0 dHT m; u; c;T n; u; d dHm; n dHx; u und wegen m 6 n damit x u. &Um das verbleibende Ternrkrperaxiom (T3) fr H;T auf die dazu duale

    Eigenschaft (T1) zurckfhren zu knnen, mssen wir neben T eine weitere ternreVerknpfung T auf H betrachten, welche die Rollen der Geradenparameter mund c einerseits und der Punkteparameter x und y andererseits vertauscht. Dazudenieren wir zunchst fr alle g 2 G die bijektiven Abbildungen

    jg : K 3 m 7! mjg 2 K mit Cg;em; 1;mjg 0;sowie

    cg : K 3 c 7! ccg 2 K mit Ce;g1; ccg ; c 0;mit deren Hilfe wir fr alle a, b 2 G die Abbildung

    Ca;b : K K K 3 m; x; c 7! y 2 K mit Cb;ax;mjaca ; yjba cjba

    erklren; man veriziert leicht, da K;S; 0; 1 mit S Ce;e ein Ternrkrper istund C Ca;ba;b2G ein verallgemeinertes Faktorsystem zu K;S; 0; 1 undG; ; e; W mit a b b a fr alle a, b 2 G darstellt.Fhrt man die Konstruktion des Hahnraumes mit ausgezeichneten Null- und

    Einselementen und der ternren Verknpfung mit K;S; 0; 1 und G; ; e; W sowieCa;ba;b2G anstelle von K;S; 0; 1 und G; ; e; W sowie Ca;ba;b2G durch, so erhltman wieder denselben ultrametrischen Raum H; dH;G0 und dieselben Elemente0 und 1, da beides nur von den Mengen K und G, den Elementen 0, 1 2 K unde 2 G sowie der Anordnung W von G abhngt; nderungen knnen sich nur beider ternren Verknpfung T ergeben.Hierbei gilt fr alle m Pamata, x Pb xbtb, c Pg cgtg und y Pg ygtg 2 H

    Tm; x; c y () T x;mjc; yj cj;wobei fr f Pg fgtg 2 H mit fj bzw. fc die durch

    fj : G 3 g 7! f jgg 2 K bzw: fc : G 3 g 7! f cgg 2 K

    164 ERWIN SCHRNER

  • denierte Abbildung bezeichnet sei, die wegen Trfj Trf bzw. Trfc Trfwieder eine formale Potenzreihe ist.Fr `) ' betrachten wir zu g 2 G

    Sg m; x fa; b 2 Trm Trx j a b gg;sei Sg m; x fai; bi j 1W iW ng fr ein n 2N0 mit a1 > . . . > ai > . . . > an, undmit yn1 cg gilt

    yn Can;bnman ; xbn ; yn1... ..

    .

    yi Cai;bi mai ; xbi ; yi1... ..

    .

    yg y1 Ca1;b1ma1 ; xb1 ; y2:Laut Denition von C erhalten wir fr alle 1W iW n wegen biai ai bi g

    Cbi;ai xbi ;mjaicaiai ; y

    jgi y

    jgi1

    und damit

    yjg2 Cb1;a1 xb1 ;m

    ja1ca1a1 ; y

    jg1 mit y

    jg1 yjg

    ..

    . ...

    yjgi1 Cbi;ai xbi ;m

    jaicaiai ; y

    jgi

    ..

    . ...

    cjgg yjgn1 Cbn;an xbn ;m

    jancanan ; y

    jgn ;

    woraus wegen

    Sgx;mjc fb; a 2 Trx Trmjc j ba gg fb; a 2 Trx Trm j a b gg fbi; ai j 1W iW ng

    mit bn > . . . > bi > . . . > b1 schlielich T x;mjc; yjg cjgg cjg folgt.Fr `( ' sei Tm; x; c z, woraus mit `) ' zunchst T x;mjc; zj cj

    T x;mjc; yj, wegen (T2) also zj yj und damit in z y die Behauptung folgt.Damit gelingt nun der Nachweis von

    LEMMA 5. H;T ; 0; 1 gengt (T3).Beweis. Zu x, u, y und z 2 Hmit x 6 u existieren x0, u0, y0 und z0 2 Hmit x0jc x,u0jc u, y0j y und z0j z, und wegen x0 6 u0 liefert die Anwendung vonLemma 4 auf H;T; 0; 1 ein m 2 H mit Tx0;m; y0 Tu0;m; z0 d. Setzen

    ZUR KONSTRUKTION VON HAHN-TERNA RKO RPERN 165

  • wir c dj, so ergibt sich T m; x0jc; dj y0j und T m; u0jc; dj z0j, alsoT m; x; c y und T m; u; c z. &Nunmehr sind wir in der Lage, das angestrebte Ergebnis auszusprechen und zu

    beweisen; dies geschieht in

    SATZ 6.Es seien K;S; 0; 1 ein Ternrkrper, G; ; e; W eine total geordnete Loop,C ein verallgemeinertes Faktorsystem zu K und G sowie H die Menge der formalenPotenzreihen auf G ber K. Dann gilt:

    (1) Mit der gem erklrten ternren Verknpfung T auf H sowie den Elementen0 0te und 1 1te ist H;T ; 0; 1 ein Ternrkrper, wobei K;S; 0; 1 vermge{ : K 3 f 7! fte 2 H ein Unterternrkrper von H;T ; 0; 1 ist.

    (2) Mit uH : H 3 f 7! dHf; 0 2 G0 ist H; uH;G0 ein sphrisch vollstndiger uniformbewerteter Ternrkrper mit Werteloop G und einem zu K isomorphen Restklas-senternrkrper, wobei dH die zu uH gehrende Ultrametrik ist.

    Beweis. Fr 1. ist infolge der Lemmata 3, 4 und 5 nur noch die behaupteteEigenschaft von { nachzuweisen: offensichtlich ist { injektiv; fr alle m, x, c 2 K giltaber T {m; {x; {c T mte; xte; cte Ce;em; x; cte Sm; x; cte {Sm; x; cnach und (F0).In 2. gilt zunchst fr alle f, g 2 H nach (T4) und der Denition der Differenz

    gem [2, S. 337f] T 0; f g; f f T 1; f g; g sowie mit Lemma 2 danndHf; g dHT 0; 0; f;T 1; 0; g dH0; 1 dHf g; 0 uHf g, weshalbH; uH;G0 gem Lemma 2 ein sphrisch vollstndiger uniform bewerteterTernrkrper und dH die zu uH gehrende Ultrametrik sind. Aufgrund von{K AH ist n { : K !{ AH !n AH=MH mit dem kanonischen Restklassenepimor-phismus n als Ternrkrperhomomorphismus wohldeniert; n { ist surjektiv, dafr jedes f 2 AH offenbar { fee fe, also dH{ fe; f < e und damitn { fe f MH gilt. &H; uH;G0 heit der aufG ber K mitC gebildete Hahn-Ternrkrper und wird mit

    H HG;K;C bezeichnet. Wir notieren die folgende

    FOLGERUNG 7. Zu jedem Ternrkrper K;S; 0; 1 und jeder total geordnetenLoop G; ; e; W existiert ein sphrisch vollstndiger uniform bewerteter Ternr-krper mit Werteloop G und einem zu K isomorphen Restklassenternrkrper.

    Beweis. Mit dem trivialen Faktorsystem C zu K;S; 0; 1 und G; ; e; W gengtHG;K;C gem Satz 6 den gestellten Anforderungen. &Betrachten wir nun den Hahn-Ternrkrper H HG;K;C ber einem

    angeordneten Ternrkrper K;S; W , so knnen wir dem klassischen VorbildHahns ([1, S. 613f], vgl. auch [6, S. 53f]) folgend durch

    f < g () f 6 g mit fg < gg f ur g dHf; g 2 G

    166 ERWIN SCHRNER

  • fr alle f Pg fgtg und g Pg ggtg 2 H eine Anordnung W auf H erklren.Offenbar ist W reexiv. Fr alle f, g 2 H mit f 6 g gilt fr g dHf; g entwederfg < gg oder gg < fg, woraus sowohl die Antisymmetrie als auch die Vergleichbarkeitder Elemente f und g folgt. ZumNachweis der Transitivitt seien f, g, h 2 Hmit f < gund g < h sowie g1 dHf; g und g2 dHg; h. Im Falle g1 g2 gilt fg1 < gg1 < hg1und wegen g1W dHf; hWMaxfdHf; g; dHg; hg g1 damit f < h; fr g1 < g2ist dHf; h g2 mit fg2 gg2 < hg2 , und fr g2 < g1 ist dHf; h g1 mitfg1 < gg1 hg1 , es gilt also stets f < h. Darber hinaus folgt fr alle f, g 2 H aus0 < f < g auch uHfW uHg, da die Annahme uHg < uHf wegen dHf; g uHf dH0; f in 0 < fdH0;f fdHf;g < gdHf;g guHf 0 einen Widerspruchzur Folge htte. Die Frage, unter welchen Voraussetzungen H;T ; W einangeordneter Ternrkrper ist, beantwortet

    LEMMA 8. Die folgenden Eigenschaften sind quivalent:

    (1) H;T ; W ist ein angeordneter Ternrkrper.(2) C erfllt fr alle a, b 2 G die folgenden Bedingungen:

    (O1) Fr alle m, x, c, d 2 K mit c < d gilt Ca;bm; x; c < Ca;bm; x; d.(O2) Fr alle m, n, x, u, c, d 2 K mit Ca;bm; x; c Ca;bn; x; d gilt:

    (a) Aus m < n und x < u folgt Ca;bm; u; c < Ca;bn; u; d.(b) Aus m < n und u < x folgt Ca;bn; u; d < Ca;bm; u; c.

    Beweis. Da fr alle a, b 2 G und m, x, c 2 K gem der Denition von TT m ta; x tb; c tab Ca;bm; x; c tab

    gilt, folgen (O1) und (O2) fr C unmittelbar aus (M1) und (M2) fr H, womit `1.)2.' gezeigt ist. Im Hinblick auf [2, S. 338] ist es nicht berraschend, da dieAusfhrungen zu `2. ) 1.' dieselbe Struktur wie die berlegungen zu Lemma 2aufweisen.Fr (M1) seien m Pamata, x Pb xbtb, c Pg cgtg und d Pg dgtg 2 H mit

    c < d; mit g dHc; d 2 G ist cg < dg . Fr y T m; x; c und z T m; x; d giltnach Lemma 2 dHT m; x; c;T m; x; d dHc; d g, weswegen yg < zg zuzeigen ist. Fr Sg m; x fai; bi j 1W iW ng mit a1 > . . . > ai > . . . > an fr einn 2N0 sowie yn1 cg und zn1 dg erhalten wir

    yn Can;bn man ; xbn ; yn1 zn Can;bnman ; xbn ; zn1... ..

    . ... ..

    .

    yi Cai;bi mai ; xbi ; yi1 zi Cai;bi mai ; xbi ; zi1... ..

    . ... ..

    .

    y1 Ca1;b1 ma1 ; xb1 ; y2 z1 Ca1;b1 ma1 ; xb1 ; z2;womit wegen (O1) aus yn1 < zn1 induktiv yg y1 < z1 zg folgt.Fr (M2) seien m Pamata, n Pa nata, x Pb xbtb, u Pb ubtb, c Pg cgtg

    und d Pg dgtg 2 H mit T m; x; c T n; x; d sowie m < n und x 6 u, weswegen

    ZUR KONSTRUKTION VON HAHN-TERNA RKO RPERN 167

  • a dHm; n 2 G mit ma < na und b dHx; u 2 G gilt; seien y T mD; x; c,y0 T nD; x; d, z T mD; u; c und z0 T nD; u; d mit dem RumpfD GW a G. Wir betrachten die Menge

    eSab fa; b 2 TrmD [ TrnD Trx [ Tru j ab abg;die Sab mD; x, Sab nD; x, Sab mD; u und Sab nD; u umfat, und erhalteneSab fai; bi j 1W iW kg mit a a1 > . . . > ai > . . . > ak fr ein k 2N. Mityk1 zk1 cab und y0k1 z0k1 dab sind

    yk Cak;bkmak ; xbk ; yk1 y0k Cak;bknak ; xbk ; y0k1... ..

    . ... ..

    .

    yi Cai;bi mai ; xbi ; yi1 y0i Cai;bi nai ; xbi ; y0i1... ..

    . ... ..

    .

    y1 Ca1;b1 ma1 ; xb1 ; y2 y01 Ca1;b1na1 ; xb1 ; y02

    und

    zk Cak;bk mak ; ubk ; zk1 z0k Cak;bknak ; ubk ; z0k1... ..

    . ... ..

    .

    zi Cai;bi mai ; ubi ; zi1 z0i Cai;bi nai ; ubi ; z0i1... ..

    . ... ..

    .

    z1 Ca1;b1 ma1 ; ub1 ; z2 z01 Ca1;b1 na1 ; ub1 ; z02

    mit yab y1, y0ab y01, zab z1 und z0ab z01. Mit Lemma 1 giltT mCD; x; y T m; x; c T n; x; d T nCD; x; y0, woraus wegen mCD nCD mitLemma 2 y y0 und damit y1 y01 folgt. Ferner gilt bi > b und somit xbi ubifr alle 1 < iW k, wodurch man y2 z2 und y02 z02 erhlt.In (a) ist x < u, und wir knnen aus Ca1;b1ma1 ; xb1 ; y2 Ca1;b1 na1 ; xb1 ; y02 mit

    ma1 ma < na na1 und xb1 xb < ub ub1 mit (O2a) auf zab Ca1;b1ma1 ; ub1 ; y2 < Ca1;b1 na1 ; ub1 ; y02 z0ab schlieen, was z < z0 bedeutet, dawegen y y0 mit Lemma 2 dHz; z0 dHmD; nD dHx; u ab gilt. UnterVerwendung von Lemma 1 und (M1) erhalten wir wegen mCD nCD schlielichT m; u; c T mCD; u; z < T nCD; u; z0 T n; u; d. Fr (b) folgt entsprechendT n; u; d < T m; u; c aus u < x. &

    Gengt nun das verallgemeinerte Faktorsystem C der Forderung 2. von Lemma 8,erfllt es also fr alle a, b 2 G die Bedingungen (O1) und (O2), so heie Cordnungsvertrgliches Faktorsystem zu K;S; W und G; ; e; W . Mit diesemBegriff formulieren wir in Ergnzung von Satz 6

    SATZ 9. Es seien K;S; W ein angeordneter Ternrkrper, G; ; e; W eine totalgeordnete Loop sowie C ein ordnungsvertrgliches Faktorsystem zu K;S; W

    168 ERWIN SCHRNER

  • und G; ; e; W . Dann gilt fr den auf G ber K mit C gebildeten Hahn-TernrkrperH HG;K;C:(1) Mit der wie oben erklrten Anordnung W ist H;T ; W ein angeordneter

    Ternrkrper, wobei K;S; W vermge { : K 3 f 7! fte 2 H ein Unterternrkr-per von H;T ; W ist.

    (2) Die Bewertung uH ist mit der Anordnung W von H;T vertrglich, und derRestklassenternrkrper ist zu K;S; W ordnungsisomorph.

    Beweis. Mit den obigen berlegungen und Lemma 8 ist nur noch zu erwhnen,da { in offenkundiger Weise, der kanonische Restklassenepimorphismus n aufgrundder Ordnungsvertrglichkeit von uH und demnach auch der Ternrkrper-isomorphismus n { : K ! AH=MH ordnungstreu sind. &Da fr jeden angeordneten Ternrkrper K;S; W und jede total geordnete LoopG; ; e; W das triviale Faktorsystem C zu K und G offensichtlich ordnungs-vertrglich ist, erhalten wir die folgende

    FOLGERUNG 10. Zu jedem angeordneten Ternrkrper K;S; W und jeder totalgeordneten Loop G; ; e; W existiert ein angeordneter Ternrkrper, der mit einerordnungsvertrglichen, sphrisch vollstndigen uniformen Bewertung mit WerteloopG und einem zu K ordnungsisomorphen Restklassenternrkrper versehen ist.

    Abschlieend wollen wir die hier vorgestellte Konstruktion eines Hahn-Ternr-krpers mit den in der Literatur eingefhrten Krpern (Hahn [1, S. 601ff] undKaplansky [4, S. 315ff]), Schiefkrpern (Neumann [5, S. 209ff]) und CartesischenGruppen (Kalhoff [3, S. 330ff]) formaler Potenzreihen vergleichen. Im Gegensatzzu Hahn, dessen Konvention wir hier bernommen haben, verstehen die anderenAutoren unter einer formalen Potenzreihe eine Abbildung vom Wertebereich Gin den Koefzientenbereich K mit wohlgeordnetem Trger, was jedoch lediglichbedeutet, da sie von der dualen Ordnung W d auf G ausgehen.In [5, S. 209ff] konstruiert Neumann einen Hahn-Schiefkrper auf einer total ge-

    ordneten Gruppe G; ; e; W ber einem Schiefkrper K;; unter Verwendungeines Faktorsystems; dabei heit ein Paar c; s von Familien c ca;ba;b2G in Kund s sgg2G in AutK ein Faktorsystem zu K und G, falls ca;b xsasb xsab ca;b,cab;g c

    sga;b ca;bg cb;g und ce;e 1 fr alle a, b, g 2 G und x 2 K gilt. Dann deniert

    f gg fg gg und f gg Xabg

    ca;b fsba gb

    fr f Pg fgtg und g Pg ggtg 2 H HG;K sowie g 2 G Addition undMultiplikation auf H, so da H;; ein Schiefkrper ist.Ausgehend von einem Faktorsystem c; s im Sinne Neumanns setzen wir nun fr

    alle a, b 2 GCa;b : K K K 3 m; x; c 7! ca;bmsb x c 2 K

    ZUR KONSTRUKTION VON HAHN-TERNA RKO RPERN 169

  • und erhalten in C Ca;ba;b2G ein verallgemeinertes Faktorsystem zu K;S und Gmit Sm; x; c mx c fr m, x, c 2 K : whrend (F0), (F2), (F4) und (F5)offensichtlich erfllt sind, ist in (F1) fr m, n, c und d 2 K mit m 6 n

    x ca;b m nsb 1d c

    das gesuchte Element, und in (F3) gengen fr x, u, y und z 2 K mit x 6 u

    m c1a;b y z x u1 s1b

    und c z x u1 x y x u1 u

    den gestellten Anforderungen. Damit scheint der Begriff ``verallgemeinertesFaktorsystem'' gerechtfertigt.Fr die auf H HG;K;C gem erklrte Ternrkrperverknpfung T gilt

    fr alle m Pamata, x Pb xbtb und c Pg cgtg 2 H sowie g 2 G, wobeiSgm; x fai; bi j 1W iW ng mit a1 > . . . > ai > . . . > an fr ein n 2N0 sei,

    T m; x; cg ca1;b1 msb1a1 xb1 can;bn m

    sbnan xbn cg

    Xabg

    ca;bmsba xb cg

    m xg cg;weswegen wir T als die zu H;; gehrende Ternrkrperverknpfung erkannthaben.Zur Konstruktion von angeordneten Hahn-Schiefkrpern werden die Familien c

    bzw. s des Faktorsystems c; s speziell ausK>0 bzw. oAutK gewhlt, was bewirkt,da C als verallgemeinertes Faktorsystem ordnungsvertrglich ist: (M1) ist trivial,und fr m, n, x, u, c und d 2 K mit Ca;bm; x; c Ca;bn; x; d und m < n gilt

    Ca;bm; u; c Ca;bn; u; d ca;b nmsb x u;woran man (M2) abliest; zudem ist H;; gem [5, S. 212] in analoger Weiseangeordnet wie H;T . Die beiden Konstruktionen stimmen daher auch im Fall einesangeordneten Schiefkrpers berein.Die Krper formaler Potenzreihen von Hahn ([1, S. 601ff]) ohne und von

    Kaplansky ([4, S. 315ff]) mit Verwendung eines Faktorsystems stellen Spezialflleder Neumannschen Hahn-Schiefkrper dar.In [3, S. 330ff] verleiht Kalhoff der Menge H der formalen Potenzreihen auf einer

    total geordneten Loop G; ; e; Wd ber einer Cartesischen Gruppe K;; mitHilfe der durch

    f gg fg gg und f gg Xabg

    fagb

    fr f Pg fgtg und g Pg ggtg 2 H sowie g 2 G erklrten Verknpfungen dieStruktur einer Cartesischen Gruppe, wobei die Summationsreihenfolge inP

    abg fagb durch die Reihenfolge des ersten Laundexes bezglich G; Wd gegeben

    170 ERWIN SCHRNER

  • ist. Mit dem trivialen Faktorsystem C zu K;S mit Sm; x; c mx c fr m, x,c 2 K und G; ; e; W betrachten wir nun H HG;K;C, und fr die Ternrkr-perverknpfung T auf H gilt fr alle m Pamata, x Pb xbtb undc Pg cgtg 2 H sowie g 2 G, wobei Sgm; x fai; bi j 1W iW ng mita1 > . . . > ai > . . . > an fr ein n 2N0 sei, wegen a1

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