mindmap-mathe I

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    22-Aug-2014

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d dt (f (x(t), y(t))

= fx (x(t), y(t)) x (t) + fy (x(t), y(t)) y (t)

(verallg.) Kettenregel

Tangentialebene

Im Punkt (x0 , y0 , f (x0 , y0 )): z = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x x0 ) + fy (x0 , y0 )(y y0 )

Notw. fr (x , y ) lok. Extr.: fx (x , y ) = fy (x , y ) = 0. u Hinr. Krit.: Denitheit der Hesse-Matrix in (x , y ).

Extrema

Funktionen in mehreren Variablen

Totales Dierential

df (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 )dx+fy (x0 , y0 )dy

Unter geeign. Vor.: f (x0 , y0 ) = 0 def. implizite Fkt. y = h(x) in Umg. von (x0 , y0 ). Dann gilt: Lagrange xReduktionsmethode f (x0 , y0 ) h (x0 ) = fy (x0 , y0 )

Optimierung unter Nebenbed.

Implizite Funktionen

f invertierbar, di.bar in x0 , f (x0 ) = y0 , f (x0 ) = 0: n-tes Taylorpolynom:n

Weierstrass Zwischenwertsatz Nullstellensatz Wichtige Stze a beschrnkt, a unbeschrnkt a Mengen Inmum, Supremum Operationen, kartesisches Produkt

(f 1 ) (y0 ) = Taylorapproximation Ableitung d. Umkehrfunktion

1 f (x0 )

Pn (x) =k=0

f (k) (x0 ) (x x0 )k k!

f heisst dierenzierbar an der Stelle x0 , falls f auf dem Intervall (x0 , x0 + ) deniert ist fr ein u > 0 und der Grenzwertxx0

16. Dezember 2011 andreas puccio apuccio@student.ethz.chv0.8ub, made with PGF/TikZ

lim

f (x) f (x0 ) x x0

Dierenzierbarkeit

Dierentialrechnung

Mathematik I

Basics + wichtige Stze a Logarithmen

existiert (= Ableitung von f an der Stelle x0 )

x > 0, y > 0, a > 0, c R : loga (x y) = loga (x) + loga (y) loga (x/y) = loga (x) loga (y) falls y = 0 loga (xc ) = c loga (x) natrlicher Logarithmus: ln := loge u x (0, ) : eln x = x x R : ln(ex ) = x

Grenzwerte, de lHosp. f (x) 0 = f mon. st., f (x) 0 = f mon. f. Str. Mon. bei > bzw. 0 lok. Min., f (x ) < 0 lok. Max. Altern.: Vorz.wechsel von f in x . Monotonie Symmetrie f : D R, 0 D gerade x D : f (x) = f (x) f ungerade x D : f (x) = f (x)

Stetigkeit

Funktionen in einer Variablen

Beschrnktheit a

f : D R beschrnkt Wf beschrnkt a a

f : D R R, I D Intervall. f konvex auf I x1 , x2 I [0, 1] : f (x1 + (1 )x2 ) f (x1 ) + (1 )f (x2 ) f konvex = f (x + h) f (x) + hf (x) f konkav f konvex

Konvexitt a

Extrema

global, lokal, relativ

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