Kinematik

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    26-Nov-2015

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fundamentals of kinematics in german

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  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung

    1

    VO 311.123 Physik fr Maschinenbauer

    Stand: Wintersemester 2013/2014

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    2

    Einfhrung in das Studium Maschinenbau und Einfhrung in das Studium Wirtschaftsingenieurwesen-Maschinenbau

    Rella Halle . 1030 Wien, Adolf-Blamauer-Gasse 1-3

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    Einfhrung in das Studium Maschinenbau und Einfhrung in das Studium Wirtschaftsingenieurwesen-Maschinenbau

    Rella Halle

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    Physik fr Maschinenbauer

    Kinematik

    aus dem Griechischen: kinema = Bewegung

    Bewegung ist ein zentrales Thema der Physik.

    Versuchen Sie Bewegung zu definieren!

    ?

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    Kinematik

    Ist das Bewegung?

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    Kinematik

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    Kinematik

    Bezugspunkt/(-system)

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    Kinematik

    Bezugspunkt/(-system)

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    Kinematik

    Damit sind die grundstzlichen Gren, die den Begriff Bewegung bestimmen identifiziert:

    Definition rtlicher Position und zeitlicher Ablauf beschreibt Bewegung.

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    Kinematik Um eine ausreichend przise Verstndigung zu ermglichen, wurden fr physikalische Grundgren Basiseinheiten definiert und im internationalen Einheitensystem SI (aus dem Franzsischen: Systme international dunits) festgehalten.

    Basisgre/Dimensionsname Lnge

    Grensymbol l

    Dimensionssymbol L

    Einheit Meter

    Einheitenzeichen m

    Basisgre/Dimensionsname Zeit

    Grensymbol t

    Dimensionssymbol T

    Einheit Sekunde

    Einheitenzeichen s

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    Kinematik

    1 m = Lnge der Strecke, die das Licht im Vakuum whrend der Dauer von 1 / 299.792.458 Sekunde zurcklegt.

    1 s = Das 9.192.631.770-fache der Perioden-dauer der dem bergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Caesium-Isotops 133Cs entsprechenden Strahlung.

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    Kinematik

    Das internationale Einheitensystem ist ein kohrentes metrisches System und umfasst 7 Basiseinheiten.

    Eine Basisgre kann definitions-gem nicht durch andere Basis-gren ausgedrckt werden.

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    Kinematik

    Mittels Orts- und Zeitangabe lt sich eine Bewegung also beschreiben

    1 2 3 4

    Ort s

    Zeit t

    4 3 2 1

    s t

    Stellt man den Bezug zwischen Ortsvernderung (Weg) und verstrichener Zeit her, erhlt man eine charak-teristische Gre zur Be-schreibung von Bewegung die Geschwindigkeit

    s(t)

    Gleichfrmige Bewegung die Geschwindigkeit ndert sich nicht

    2 1 3 4

    v = s/t [m/s]

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    Kinematik Auch bei ungleichfrmiger Bewegung erhlt man aus der Relation s/t eine Aussage ber Geschwindigkeit.

    1 2 3 4

    Weg s

    Zeit t

    40 30 20 10

    s t

    Die Verkleinerung des Zeitintervalls nhert die Geschwindigkeitskurve immer besser an.

    s(t)

    Hier ist es die mittlere Geschwindigkeit v = s/t zwischen ge-nau den beiden heran-gezogenen Zeitpunkten.

    4 s(t4)

    1 s(t1)

    s(t1)

    2 s(t2)

    s(t2)

    3 s(t3) s(t3)

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    Kinematik Der Grenzbergang fhrt schlielich zur Momentangeschwindigkeit

    v(t) = lim s/t = ds/dt t >0

    1 2 3 4

    Weg s

    Zeit t

    40 30 20 10

    s t

    s(t)

    v(t) Anstieg der Funktion s(t)

    v Geradlinige Bewegung die Richtung von v ndert sich nicht

    1

    2

    3

    4

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    Kinematik Wenn der Ort sich im Zeitablauf ndert, sprechen wir von Bewegung, der Geschwindigkeit inhrent ist.

    ndert sich die Geschwindigkeit im Zeitablauf, wird das durch Beschleunigung beschrieben. Dies umfasst sowohl Erhhung, wie auch Reduktion von Geschwindigkeit.

    1 2 3 4

    Geschwindigkeit v

    Zeit t

    40 30 20 10

    v t

    v

    a = v/t [m/s2]

    1

    2

    3

    4

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    Kinematik Analog einer zeitlich variablen Geschwindigkeit v(t) ist natrlich eine variable Beschleunigung a(t) denkbar.

    1 2 3 4

    Geschwindigkeit v

    Zeit t

    40 30 20 10

    v t

    v(t)

    a(t) = lim v/t = dv/dt t >0

    So lsst sich auch die Momentanbeschleunigung analog, nach Grenzbergang berechnen.

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    Kinematik Anwendungsbeispiel

    Zeichnen Sie zu folgendem Weg-Zeit Diagramm das zugehrige Geschwindigkeit-Zeit Diagramm

    1 2 3 4

    Weg s [m]

    Zeit t [s]

    4 3 2 1

    s

    t

    s(t)

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    Kinematik Anwendungsbeispiel Lsung

    1 2 3 4

    Geschwindigkeit v [m/s]

    Zeit t [s]

    4 3 2 1

    v = s/t

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    Kinematik

    t

    1 2 3 4

    v

    t

    40 30 20 10

    v t

    v(t)

    vv(t)

    1 2 3 4 t

    40 30 20 10

    v t

    1 2 3 4

    s

    t

    40 30 20 10

    s t

    s(t) 1 2 3 4

    s 40 30 20 10

    s t

    s(t)

    a(t) = dv/dt = d2s/dt2 [m/s2]

    a = v/t [m/s2]

    v = s/t [m/s]

    v(t) = ds/dt = a*t [m/s]

    s(t) = v*t [m] a = 0

    s(t) = v(t)dt = a*t2 [m]

    v(t) = ds/dt = a(t)dt [m/s]

    s(t) = v(t)dt = a(t)dt1dt2 [m] T1=0 T2= 0

    T1= T2 T2= T

    Allgemein:

    Sonderfall konstante Geschwindigkeit

    Sonderfall konstante Beschleunigung

    t

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    Kinematik

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    Kinematik

    Kronenlnge 380m

    Kronenhhe 220m

    Verzasca Staudamm,

    Tessin, Schweiz

    Fallzeit bis Seil bremst: ca. 13s

    s(t) = v(t)dt = a*t2

    a = g = 9,81m/s2 (Erdbeschleunigung)

    s(t) = h(13 s) = *9,81m/s2*132 s2 =

    = 828,9m

    Zeitlupe

    ca. halbe Geschw.

    h(6,5s) = 207,24m

    berschneidungen verschiedener Perspektiven

    ca. nur 4,5s h(4,5s) = 99,33m freier Fall

    ? ?

    Luftwiderstand unbercksichtigt

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    Kinematik

    Verzasca Staudamm,

    Tessin, Schweiz Verzgerungszeit: ca. 14s freier Fall:

    vo = g*tfF = 9,81m/s2* 4,5s = = 44,145m/s

    (Endgeschwindigkeit)

    auch hier Zeitlupe

    ca. halbe Geschw., aber nur eine

    andere Perspektive ohne

    nennenswerte berschneidung

    t = 7s

    Wie gro ist die durchschnittliche negative Beschleunigung durch das Seil?

    vu - vo = ds/dt = a*t bei konst Beschl. v(t) = ds/dt = a*t

    0m/s 44,145m/s = a*7s

    a = 44,145/7 =

    = - 6,306 m/s2

    Luftwiderstand unbercksichtigt

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    Kinematik Superpositionsprinzip

    vv(t) 40

    30 20 10

    1 2 3 4 t

    Sonderfall konstante Beschleunigung (aus Grnden der bersichtlichkeit)

    s(t) = s(2) + v(2)*(t-2) + a*(t-2)2

    Unsere Betrachtungen bisher gingen immer vom Zeitpunkt (0) aus, zu dem die Bewegung begann.

    1 2 3 4

    s

    t

    40 30 20 10

    s(t)

    0

    0

    Sind stattdessen Geschwindigkeit und Beschleunigung an einem beliebigen Ort der Bewegung bekannt, lt sich die Beschleunigung der Geschwindigkeit und beide gemeinsam der Position berlagern und damit die Bewegung genauso wie zuvor erfassen.

    s(t) = s(0) + v(0)*t + a*t2

    Nun setzt man den Beginn der zeitlichen Betrachtung an die Ausgangsposition 2 und erhlt:

    v(t) = v(0) + a*t und auch:

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    Kinematik Anwendungsbeispiel

    Zeichnen Sie zu folgendem Geschwindigkeits-Zeit Diagramm das zugehrige Weg-Zeit Diagramm.

    1 2 3 4

    Geschwindigkeit v [m/s]

    Zeit t [s]

    4 3 2 1

    v(t)

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    Kinematik Anwendungsbeispiel Lsung

    1 2 3 4

    Weg s[m]

    Zeit t [s]

    4 3 2 1

    s(t)

    s(t) = v*t + a*(t-2)2

    s(3) = 3,5 m

    s(4) = 6 m

    s(t) = v*t

    s(1) = 1 m

    s(2) = 2 m

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    Kinematik Rumliche Bewegung Zur Erfassung rumlicher Bewegung dienen Koordinatensysteme.

    Rechtwinkeliges kartesisches Koordinatensystem

    Zylinder-Koordinatensystem

    Kugel-Koordinatensystem

    z

    y

    r

    x

    P (r,,z) e

    er ez

    0

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    Kinematik

    Angabe eines Orts:

    P(x,y,z)

    oder durch den

    Vektor r = x ex + y ey + z ez

    mit ex, ey und ez, den Einheitsvektoren (Lnge = 1) in Richtung der Koordinatenachsen

    Ein Ort wird im dreidimensionalen Raum durch einen Vektor r(t) mit drei Komponenten beschrieben, der vom Ursprung des Bezugssystems (Koordinatensystems) bis zu diesem Ort fhrt.

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    Kinematik Geschwindigkeit

    = r/t = (r(t2) r(t1))/(t2 t1)

    0

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    30

    Kinematik Geschwindigkeit

    0

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    31

    Kinematik Geschwindigkeit

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    Kinematik Vektoralgebra

    Vektorprodukt

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    Kinematik Berechnung Trajektorie aus Geschwindigkeit

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    Kinematik Beschleunigung Wie bereits zuvor festgestellt, handelt es sich bei nderung von Geschwindigkeit um Beschleunigung, egal ob es sich um eine Zu- oder Abnahme der Geschwin-digkeit handelt. Auch hier, wie im eindimensionalen Fall, fhrt der Grenzber-gang fr gegen null gehende Zeitdifferenz der durchschnittliche Beschleunigung auf die Momentanbeschleunigung, einschlielich deren Richtung im Raum.

    Durchschnittsbeschleunigung

    Momentanbeschleunigung

    Mit den rumlichen Komponenten:

    Und dem Betrag der Beschleunigung:

    2

    2

    dtxd

    dtdva xx == 2

    2

    dtyd

    dtdv

    a yy == 22

    dtzd

    dtdva zz ==

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    Kinematik Berechnung der Geschwindigkeit aus Beschleunigung

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    Kinematik Berechnung der Trajektorie aus der Beschleunigung

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    37

    Kinematik lex prima

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    Kinematik lex prima

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    Kinematik lex prima

    Bereits im Jahre 1638 erkannte und formulierte Galileo das Trgheitsprinzip:

    Ein sich selbst berlassener Krper

    bewegt sich geradlinig und gleichfrmig.

    (Ruhe ist der Spezialfall der Bewegungsgeschwindigkeit 0)

    Die Gltigkeit beschrnkt sich auf Inertialsysteme (gleichfrmig und geradlinig bewegte Systeme). (So hngt der Betrag der Geschwindigkeit nur vom Bezugssystem ab.)

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    Kinematik lex secunda

    Wir erkennen zunchst eine gleichfrmige, geradlinige Bewegung. Dann wird eine Vernderung des Bewegungszustands herbeigefhrt.

    Wodurch?

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    41

    Kinematik lex secunda

    Durch eine Kraft, - hier Bremskraft. Also knnen wir durch Krfte Bewegungszustnde ndern.

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    42

    Kinematik lex secunda

    Eine physikalische Kraft hat einen Wert

    (oder Betrag) und eine Richtung.

    Die Erfassung der Gre erfolgt nicht mit einer Basiseinheit, sondern mit einer abgeleiteten Einheit. (Ihre Definition betrachten wir nach Untersuchung einer weiteren physikalischen Grundgre.)

    Die Richtung lt sich, wie bereits bekannt, in einem Koordinatensystem erfassen.

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    43

    Kinematik lex secunda

    Wir haben eine gleichfrmige, geradlinige Bewegung, mit gleicher Geschwindigkeit wie zuvor.

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    44

    Kinematik lex secunda

    und lassen zum gleichen Zeitpunkt genau die gleiche Bremskraft wirken. Was ist das Resultat ? und wieso?

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    45

    Kinematik lex secunda

    Hier hat die Bremskraft nicht ausgereicht. Was war anders als zuvor? die Masse. Also gibt es bei Vernderungen des Bewegungszustands eine Zusammenhang zwischen Kraft und Masse.

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    46

    Kinematik lex secunda

    Diesen Zusammenhang zwischen Kraft, Masse und Beschleunigung hat bereits Newton erkannt und im Aktionsprinzip festgehalten.

    Er stellt einen Zusammenhang zwischen Impuls und Kraft her.

    Mit Trennung der Impulsnderung in Masse und Beschleunigung formulierte Leonhard Euler um 1750:

    F = p

    F = m a

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    47

    Kinematik

    Masse ist eine Eigenschaft der Materie

    und eine physikalische Grundgre. Ihre Messung erfolgt daher auch mittels einer SI Basiseinheit.

    Basisgre/Dimensionsname Masse

    Grensymbol m

    Dimensionssymbol M

    Einheit Kilogramm

    Einheitenzeichen kg

    Das Kilogramm ist gleich der Masse des Internationalen Kilogrammprototyps *)

    1 kg =

    *) Kein Bezug zu einer naturwissenschaftlichen Konstante.

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    48

    Kinematik

    Masse ist eigentlich ein sehr abstrakter Begriff, whrend man mit zwei Auswirkungen alltglich konfrontiert ist.

    Dies sind:

    Gravitation ist eine der vier Grundkrfte der Physik (in der klassischen Physik Anziehunskrfte zwischen Massen) und

    Trgheit ist das Beharrungsvermgen eines Krpers den Bewegungszustand beizubehalten

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    49

    Kinematik

    Mit Kenntnis des Zusammenhangs zwischen Masse, Beschleunigung und Kraft ist auch die abgeleitete SI Einheit zur Messung von Kraft evident:

    Physikalische Gre Kraft

    Grensymbol F

    Dimensionssymbol ML/T2

    Einheit Newton = kg m/s2

    Einheitenzeichen N

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    50

    Kinematik

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    51

    Kinematik Welche Kraft wirkt auf einen Krper mit der Masse 80kg bei Vollbremsung in einem F1 Auto und in einem PKW?

    Die Bremsung erfolgte bei einer Geschwindigkeit von 120mph.

    v0 = 193km/h, vStop = 0km/h

    Annnahme: Verzgerung gleichfrmig

    a = v/t F = m*a = m*v/t

    v0 = 193/3,6 = = 53,6m/s, vStop = 0m/s

    FFahrerPKW = 80kg*(0m/s-53,6m/s)/4,05s =

    = - 1058,8 kgm/s2 FFahrerF1 = 80kg*(0m/s-53,6m/s)/2,12s =

    = - 2022,6 kgm/s2

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    Kinematik Welche Kraft wirkt bei Vollbremsung auf ein F1 Auto (Masse 620kg) und auf einem PKW (Masse 1500kg)?

    Die Bremsung erfolgte bei einer Geschwindigkeit von 120mph.

    v0 = 193km/h, vStop = 0km/h

    Annnahme: Verzgerung gleichfrmig

    FPKW = 1500kg*(0m/s-53,6m/s)/4,05s =

    = - 19.851,9kgm/s2 FF1 = 620kg*(0m/s-53,6m/s)/2,12s =

    = - 15.675,5kgm/s2

    aPKW = v/t/g = - 1,35g aF1 = v/t/g = - 2,58g g Erdbeschleunigung