Kinematik

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    25-Nov-2015

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fundamentals of kinematics in german

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  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 1 VO 311.123 Physik für Maschinenbauer Stand: Wintersemester 2013/2014
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 2 Einführung in das Studium Maschinenbau und Einführung in das Studium Wirtschaftsingenieurwesen-Maschinenbau Rella Halle …. 1030 Wien, Adolf-Blamauer-Gasse 1-3
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 3 Einführung in das Studium Maschinenbau und Einführung in das Studium Wirtschaftsingenieurwesen-Maschinenbau Rella Halle
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 4 Physik für Maschinenbauer Kinematik …aus dem Griechischen: kinema = Bewegung Bewegung ist ein zentrales Thema der Physik. Versuchen Sie Bewegung zu definieren! … ?
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 5 Kinematik Ist das Bewegung?
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 6 Kinematik
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 7 Kinematik Bezugspunkt/(-system)
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 8 Kinematik Bezugspunkt/(-system)
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 9 Kinematik Damit sind die grundsätzlichen Größen, die den Begriff „Bewegung“ bestimmen identifiziert: Definition örtlicher Position und zeitlicher Ablauf beschreibt Bewegung.
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 10 Kinematik Um eine ausreichend präzise Verständigung zu ermöglichen, wurden für physikalische Grundgrößen Basiseinheiten definiert und im internationalen Einheitensystem SI (aus dem Französischen: Système international d’unités) festgehalten. Basisgröße/Dimensionsname Länge Größensymbol l Dimensionssymbol L Einheit Meter Einheitenzeichen m Basisgröße/Dimensionsname Zeit Größensymbol t Dimensionssymbol T Einheit Sekunde Einheitenzeichen s
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 11 Kinematik 1 m = Länge der Strecke, die das Licht im Vakuum während der Dauer von 1 / 299.792.458 Sekunde zurücklegt. 1 s = Das 9.192.631.770-fache der Perioden- dauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Caesium-Isotops 133Cs entsprechenden Strahlung.
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 12 Kinematik Das internationale Einheitensystem ist ein kohärentes metrisches System und umfasst 7 Basiseinheiten. Eine Basisgröße kann definitions- gemäß nicht durch andere Basis- größen ausgedrückt werden.
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 13 Kinematik Mittels Orts- und Zeitangabe läßt sich eine Bewegung also beschreiben … 1 2 3 4 Ort s Zeit t 4 3 2 1 Δs Δt Stellt man den Bezug zwischen Ortsveränderung (Weg) und verstrichener Zeit her, erhält man eine charak- teristische Größe zur Be- schreibung von Bewegung – die Geschwindigkeit … s(t) Gleichförmige Bewegung … die Geschwindigkeit ändert sich nicht 2 1 3 4 v = Δs/Δt [m/s]
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 14 Kinematik Auch bei ungleichförmiger Bewegung erhält man aus der Relation Δs/Δt eine Aussage über Geschwindigkeit. 1 2 3 4 Weg s Zeit t 40 30 20 10 Δs Δt Die Verkleinerung des Zeitintervalls nähert die Geschwindigkeitskurve immer besser an. s(t) Hier ist es die mittlere Geschwindigkeit … v = Δs/Δt zwischen ge- nau den beiden heran- gezogenen Zeitpunkten. 4 s(t4) 1 s(t1) s(t1) 2 s(t2) s(t2) 3 s(t3) s(t3)
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 15 Kinematik Der Grenzübergang führt schließlich zur Momentangeschwindigkeit … v(t) = lim Δs/Δt = ds/dt Δt >0 1 2 3 4 Weg s Zeit t 40 30 20 10 Δs Δt s(t) v(t) … Anstieg der Funktion s(t) v Geradlinige Bewegung … die Richtung von v ändert sich nicht 1 2 3 4
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 16 Kinematik Wenn der Ort sich im Zeitablauf ändert, sprechen wir von Bewegung, … der Geschwindigkeit inhärent ist. Ändert sich die Geschwindigkeit im Zeitablauf, wird das durch Beschleunigung beschrieben. Dies umfasst sowohl Erhöhung, wie auch Reduktion von Geschwindigkeit. 1 2 3 4 Geschwindigkeit v Zeit t 40 30 20 10 Δv Δt v a = Δv/Δt [m/s2] 1 2 3 4
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 17 Kinematik Analog einer zeitlich variablen Geschwindigkeit v(t) ist natürlich eine variable Beschleunigung a(t) denkbar. 1 2 3 4 Geschwindigkeit v Zeit t 40 30 20 10 Δv Δt v(t) a(t) = lim Δv/Δt = dv/dt Δt >0 So lässt sich auch die Momentanbeschleunigung analog, nach Grenzübergang berechnen.
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 18 Kinematik Anwendungsbeispiel Zeichnen Sie zu folgendem Weg-Zeit Diagramm das zugehörige Geschwindigkeit-Zeit Diagramm 1 2 3 4 Weg s [m] Zeit t [s] 4 3 2 1 Δs Δt s(t)
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 19 Kinematik Anwendungsbeispiel Lösung 1 2 3 4 Geschwindigkeit v [m/s] Zeit t [s] 4 3 2 1 v = Δs/Δt
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 20 Kinematik t 1 2 3 4 v t 40 30 20 10 Δv Δt v(t) v v(t) 1 2 3 4 t 40 30 20 10 Δv Δt 1 2 3 4 s t 40 30 20 10 Δs Δt s(t) 1 2 3 4 s 40 30 20 10 Δs Δt s(t) a(t) = dv/dt = d2s/dt2 [m/s2] a = Δv/Δt [m/s2] v = Δs/Δt [m/s] v(t) = ds/dt = a*t [m/s] s(t) = v*t [m] a = 0 s(t) = v(t)dt = ½ a*t2 [m] v(t) = ds/dt = a(t)dt [m/s] s(t) = v(t)dt = a(t)dt1dt2 [m] T1=0 T2= 0 T1= T2 T2= T Allgemein: Sonderfall konstante Geschwindigkeit Sonderfall konstante Beschleunigung t
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 21 Kinematik
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 22 Kinematik Kronenlänge 380m Kronenhöhe 220m Verzasca Staudamm, Tessin, Schweiz Fallzeit bis Seil bremst: ca. 13s s(t) = v(t)dt = ½ a*t2 a = g = 9,81m/s2 (Erdbeschleunigung) s(t) = h(13 s) = ½*9,81m/s2*132 s2 = = 828,9m Zeitlupe … … ca. halbe Geschw. h(6,5s) = 207,24m Überschneidungen verschiedener Perspektiven… … ca. nur 4,5s … h(4,5s) = 99,33m freier Fall ? ? Luftwiderstand unberücksichtigt
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 23 Kinematik Verzasca Staudamm, Tessin, Schweiz Verzögerungszeit: ca. 14s freier Fall: vo = g*tfF = 9,81m/s2* 4,5s = = 44,145m/s (Endgeschwindigkeit) auch hier Zeitlupe … … ca. halbe Geschw., aber nur eine andere Perspektive ohne nennenswerte Überschneidung … t = 7s Wie groß ist die durchschnittliche negative Beschleunigung durch das Seil? vu - vo = ds/dt = a*t bei konst Beschl. v(t) = ds/dt = a*t 0m/s– 44,145m/s = a*7s a = – 44,145/7 = = - 6,306 m/s2 Luftwiderstand unberücksichtigt
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 24 Kinematik Superpositionsprinzip v v(t) 40 30 20 10 1 2 3 4 t Sonderfall konstante Beschleunigung (aus Gründen der Übersichtlichkeit) s(t) = s(2) + v(2)*(t-2) + ½ a*(t-2)2 Unsere Betrachtungen bisher gingen immer vom Zeitpunkt (0) aus, zu dem die Bewegung begann. 1 2 3 4 s t 40 30 20 10 s(t) 0 0 Sind stattdessen Geschwindigkeit und Beschleunigung an einem beliebigen Ort der Bewegung bekannt, läßt sich die Beschleunigung der Geschwindigkeit und beide gemeinsam der Position überlagern und damit die Bewegung genauso wie zuvor erfassen. s(t) = s(0) + v(0)*t + ½ a*t2 Nun setzt man den Beginn der zeitlichen Betrachtung an die Ausgangsposition 2 und erhält: v(t) = v(0) + a*t und auch:
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 25 Kinematik Anwendungsbeispiel Zeichnen Sie zu folgendem Geschwindigkeits-Zeit Diagramm das zugehörige Weg-Zeit Diagramm. 1 2 3 4 Geschwindigkeit v [m/s] Zeit t [s] 4 3 2 1 v(t)
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 26 Kinematik Anwendungsbeispiel Lösung 1 2 3 4 Weg s[m] Zeit t [s] 4 3 2 1 s(t) s(t) = v*t + ½ a*(t-2)2 s(3) = 3,5 m s(4) = 6 m … s(t) = v*t s(1) = 1 m s(2) = 2 m
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 27 Kinematik Räumliche Bewegung Zur Erfassung räumlicher Bewegung dienen Koordinatensysteme. Rechtwinkeliges kartesisches Koordinatensystem Zylinder- Koordinatensystem Kugel-Koordinatensystem z y r φ x P (r,φ,z) eφ er ez 0
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 28 Kinematik Angabe eines Orts: P(x,y,z) oder durch den Vektor r = x ex + y ey + z ez mit ex, ey und ez, den Einheitsvektoren (Länge = 1) in Richtung der Koordinatenachsen Ein Ort wird im dreidimensionalen Raum durch einen Vektor r(t) mit drei Komponenten beschrieben, der vom Ursprung des Bezugssystems (Koordinatensystems) bis zu diesem Ort führt.
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 29 Kinematik Geschwindigkeit = Δr/Δt = (r(t2) – r(t1))/(t2 – t1) 0
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 30 Kinematik Geschwindigkeit 0
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 31 Kinematik Geschwindigkeit
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 32 Kinematik Vektoralgebra Vektorprodukt
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 33 Kinematik Berechnung Trajektorie aus Geschwindigkeit
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 34 Kinematik Beschleunigung Wie bereits zuvor festgestellt, handelt es sich bei Änderung von Geschwindigkeit um Beschleunigung, egal ob es sich um eine Zu- oder Abnahme der Geschwin- digkeit handelt. Auch hier, wie im eindimensionalen Fall, führt der Grenzüber- gang für gegen null gehende Zeitdifferenz der durchschnittliche Beschleunigung auf die Momentanbeschleunigung, einschließlich deren Richtung im Raum. Durchschnittsbeschleunigung Momentanbeschleunigung Mit den räumlichen Komponenten: Und dem Betrag der Beschleunigung: 2 2 dt xd dt dva xx == 2 2 dt yd dt dv a yy == 2 2 dt zd dt dva zz ==
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 35 Kinematik Berechnung der Geschwindigkeit aus Beschleunigung
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 36 Kinematik Berechnung der Trajektorie aus der Beschleunigung
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 37 Kinematik lex prima
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 38 Kinematik lex prima
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 39 Kinematik lex prima Bereits im Jahre 1638 erkannte und formulierte Galileo das Trägheitsprinzip: Ein sich selbst überlassener Körper bewegt sich geradlinig und gleichförmig. (Ruhe ist der Spezialfall der Bewegungsgeschwindigkeit 0) Die Gültigkeit beschränkt sich auf Inertialsysteme (gleichförmig und geradlinig bewegte Systeme). (So hängt der Betrag der Geschwindigkeit nur vom Bezugssystem ab.)
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 40 Kinematik lex secunda Wir erkennen zunächst eine gleichförmige, geradlinige Bewegung. Dann wird eine Veränderung des Bewegungszustands herbeigeführt. Wodurch? …
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 41 Kinematik lex secunda Durch eine Kraft, - hier Bremskraft. Also können wir durch Kräfte Bewegungszustände ändern.
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 42 Kinematik lex secunda Eine physikalische Kraft hat einen Wert (oder Betrag) und eine Richtung. Die Erfassung der Größe erfolgt nicht mit einer Basiseinheit, sondern mit einer abgeleiteten Einheit. (Ihre Definition betrachten wir nach Untersuchung einer weiteren physikalischen Grundgröße.) Die Richtung läßt sich, wie bereits bekannt, in einem Koordinatensystem erfassen.
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 43 Kinematik lex secunda Wir haben eine gleichförmige, geradlinige Bewegung, mit gleicher Geschwindigkeit wie zuvor.
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 44 Kinematik lex secunda … und lassen zum gleichen Zeitpunkt genau die gleiche Bremskraft wirken. Was ist das Resultat …? … und wieso?
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 45 Kinematik lex secunda Hier hat die Bremskraft nicht ausgereicht. Was war anders als zuvor? … die Masse. Also gibt es bei Veränderungen des Bewegungszustands eine Zusammenhang zwischen Kraft und Masse.
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 46 Kinematik lex secunda Diesen Zusammenhang zwischen Kraft, Masse und Beschleunigung hat bereits Newton erkannt und im Aktionsprinzip festgehalten. Er stellt einen Zusammenhang zwischen Impuls und Kraft her. Mit Trennung der Impulsänderung in Masse und Beschleunigung formulierte Leonhard Euler um 1750: F = p F = m a
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 47 Kinematik Masse ist eine Eigenschaft der Materie und eine physikalische Grundgröße. Ihre Messung erfolgt daher auch mittels einer SI Basiseinheit. Basisgröße/Dimensionsname Masse Größensymbol m Dimensionssymbol M Einheit Kilogramm Einheitenzeichen kg Das Kilogramm ist gleich der Masse des Internationalen Kilogrammprototyps *) 1 kg = *) Kein Bezug zu einer naturwissenschaftlichen Konstante.
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 48 Kinematik Masse ist eigentlich ein sehr abstrakter Begriff, während man mit zwei Auswirkungen alltäglich konfrontiert ist. Dies sind: Gravitation … ist eine der vier Grundkräfte der Physik (in der klassischen Physik Anziehunskräfte zwischen Massen) und Trägheit … ist das Beharrungsvermögen eines Körpers den Bewegungszustand beizubehalten
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 49 Kinematik Mit Kenntnis des Zusammenhangs zwischen Masse, Beschleunigung und Kraft ist auch die abgeleitete SI Einheit zur Messung von Kraft evident: Physikalische Größe Kraft Größensymbol F Dimensionssymbol ML/T2 Einheit Newton = kg m/s2 Einheitenzeichen N
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 50 Kinematik
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 51 Kinematik Welche Kraft wirkt auf einen Körper mit der Masse 80kg bei Vollbremsung in einem F1 Auto und in einem PKW? Die Bremsung erfolgte bei einer Geschwindigkeit von 120mph. v0 = 193km/h, vStop = 0km/h Annnahme: Verzögerung gleichförmig a = Δv/Δt F = m*a = m*Δv/Δt v0 = 193/3,6 = = 53,6m/s, vStop = 0m/s FFahrerPKW = 80kg*(0m/s-53,6m/s)/4,05s = = - 1058,8 kgm/s2 FFahrerF1 = 80kg*(0m/s-53,6m/s)/2,12s = = - 2022,6 kgm/s2
  • Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium für Laserbasierte Fertigung 52 Kinematik Welche Kraft wirkt bei Vollbremsung auf ein F1 Auto (Masse 620kg) und auf einem PKW (Masse 1500kg)? Die Bremsung erfolgte bei einer Geschwindigkeit von 120mph. v0 = 193km/h, vStop = 0km/h Annnahme: Verzögerung gleichförmig FPKW = 1500kg*(0m/s-53,6m/s)/4,05s = = - 19.851,9kgm/s2 FF1 = 620kg*(0m/s-53,6m/s)/2,12s = = - 15.675,5kgm/s2 aPKW = Δv/Δt/g = - 1,35g aF1 = Δv/Δt/g = - 2,58g g … Erdbeschleunigung