Kinematik

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    26-Nov-2015

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fundamentals of kinematics in german

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Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 1 VO 311.123 Physik fr Maschinenbauer Stand: Wintersemester 2013/2014 Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 2 Einfhrung in das Studium Maschinenbau und Einfhrung in das Studium Wirtschaftsingenieurwesen-Maschinenbau Rella Halle . 1030 Wien, Adolf-Blamauer-Gasse 1-3 Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 3 Einfhrung in das Studium Maschinenbau und Einfhrung in das Studium Wirtschaftsingenieurwesen-Maschinenbau Rella Halle Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 4 Physik fr Maschinenbauer Kinematik aus dem Griechischen: kinema = Bewegung Bewegung ist ein zentrales Thema der Physik. Versuchen Sie Bewegung zu definieren! ? Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 5 Kinematik Ist das Bewegung? Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 6 Kinematik Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 7 Kinematik Bezugspunkt/(-system) Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 8 Kinematik Bezugspunkt/(-system) Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 9 Kinematik Damit sind die grundstzlichen Gren, die den Begriff Bewegung bestimmen identifiziert: Definition rtlicher Position und zeitlicher Ablauf beschreibt Bewegung. Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 10 Kinematik Um eine ausreichend przise Verstndigung zu ermglichen, wurden fr physikalische Grundgren Basiseinheiten definiert und im internationalen Einheitensystem SI (aus dem Franzsischen: Systme international dunits) festgehalten. Basisgre/Dimensionsname Lnge Grensymbol l Dimensionssymbol L Einheit Meter Einheitenzeichen m Basisgre/Dimensionsname Zeit Grensymbol t Dimensionssymbol T Einheit Sekunde Einheitenzeichen s Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 11 Kinematik 1 m = Lnge der Strecke, die das Licht im Vakuum whrend der Dauer von 1 / 299.792.458 Sekunde zurcklegt. 1 s = Das 9.192.631.770-fache der Perioden-dauer der dem bergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Caesium-Isotops 133Cs entsprechenden Strahlung. Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 12 Kinematik Das internationale Einheitensystem ist ein kohrentes metrisches System und umfasst 7 Basiseinheiten. Eine Basisgre kann definitions-gem nicht durch andere Basis-gren ausgedrckt werden. Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 13 Kinematik Mittels Orts- und Zeitangabe lt sich eine Bewegung also beschreiben 1 2 3 4 Ort s Zeit t 4 3 2 1 s t Stellt man den Bezug zwischen Ortsvernderung (Weg) und verstrichener Zeit her, erhlt man eine charak-teristische Gre zur Be-schreibung von Bewegung die Geschwindigkeit s(t) Gleichfrmige Bewegung die Geschwindigkeit ndert sich nicht 2 1 3 4 v = s/t [m/s] Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 14 Kinematik Auch bei ungleichfrmiger Bewegung erhlt man aus der Relation s/t eine Aussage ber Geschwindigkeit. 1 2 3 4 Weg s Zeit t 40 30 20 10 s t Die Verkleinerung des Zeitintervalls nhert die Geschwindigkeitskurve immer besser an. s(t) Hier ist es die mittlere Geschwindigkeit v = s/t zwischen ge-nau den beiden heran-gezogenen Zeitpunkten. 4 s(t4) 1 s(t1) s(t1) 2 s(t2) s(t2) 3 s(t3) s(t3) Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 15 Kinematik Der Grenzbergang fhrt schlielich zur Momentangeschwindigkeit v(t) = lim s/t = ds/dt t >0 1 2 3 4 Weg s Zeit t 40 30 20 10 s t s(t) v(t) Anstieg der Funktion s(t) v Geradlinige Bewegung die Richtung von v ndert sich nicht 1 2 3 4 Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 16 Kinematik Wenn der Ort sich im Zeitablauf ndert, sprechen wir von Bewegung, der Geschwindigkeit inhrent ist. ndert sich die Geschwindigkeit im Zeitablauf, wird das durch Beschleunigung beschrieben. Dies umfasst sowohl Erhhung, wie auch Reduktion von Geschwindigkeit. 1 2 3 4 Geschwindigkeit v Zeit t 40 30 20 10 v t v a = v/t [m/s2] 1 2 3 4 Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 17 Kinematik Analog einer zeitlich variablen Geschwindigkeit v(t) ist natrlich eine variable Beschleunigung a(t) denkbar. 1 2 3 4 Geschwindigkeit v Zeit t 40 30 20 10 v t v(t) a(t) = lim v/t = dv/dt t >0 So lsst sich auch die Momentanbeschleunigung analog, nach Grenzbergang berechnen. Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 18 Kinematik Anwendungsbeispiel Zeichnen Sie zu folgendem Weg-Zeit Diagramm das zugehrige Geschwindigkeit-Zeit Diagramm 1 2 3 4 Weg s [m] Zeit t [s] 4 3 2 1 s t s(t) Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 19 Kinematik Anwendungsbeispiel Lsung 1 2 3 4 Geschwindigkeit v [m/s] Zeit t [s] 4 3 2 1 v = s/t Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 20 Kinematik t 1 2 3 4 v t 40 30 20 10 v t v(t) vv(t) 1 2 3 4 t40 30 20 10 v t 1 2 3 4 s t40 30 20 10 s t s(t) 1 2 3 4 s 40 30 20 10 s t s(t) a(t) = dv/dt = d2s/dt2 [m/s2] a = v/t [m/s2] v = s/t [m/s] v(t) = ds/dt = a*t [m/s] s(t) = v*t [m] a = 0 s(t) = v(t)dt = a*t2 [m] v(t) = ds/dt = a(t)dt [m/s] s(t) = v(t)dt = a(t)dt1dt2 [m] T1=0 T2= 0 T1= T2 T2= T Allgemein: Sonderfall konstante Geschwindigkeit Sonderfall konstante Beschleunigung tUniv. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 21 Kinematik Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 22 Kinematik Kronenlnge 380m Kronenhhe 220m Verzasca Staudamm, Tessin, Schweiz Fallzeit bis Seil bremst: ca. 13s s(t) = v(t)dt = a*t2 a = g = 9,81m/s2 (Erdbeschleunigung) s(t) = h(13 s) = *9,81m/s2*132 s2 = = 828,9m Zeitlupe ca. halbe Geschw. h(6,5s) = 207,24m berschneidungen verschiedener Perspektiven ca. nur 4,5s h(4,5s) = 99,33m freier Fall ? ? Luftwiderstand unbercksichtigt Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 23 Kinematik Verzasca Staudamm, Tessin, Schweiz Verzgerungszeit: ca. 14s freier Fall: vo = g*tfF = 9,81m/s2* 4,5s = = 44,145m/s (Endgeschwindigkeit) auch hier Zeitlupe ca. halbe Geschw., aber nur eine andere Perspektive ohne nennenswerte berschneidung t = 7s Wie gro ist die durchschnittliche negative Beschleunigung durch das Seil? vu - vo = ds/dt = a*t bei konst Beschl. v(t) = ds/dt = a*t 0m/s 44,145m/s = a*7s a = 44,145/7 = = - 6,306 m/s2 Luftwiderstand unbercksichtigt Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 24 Kinematik Superpositionsprinzip vv(t) 40 30 20 10 1 2 3 4 tSonderfall konstante Beschleunigung (aus Grnden der bersichtlichkeit) s(t) = s(2) + v(2)*(t-2) + a*(t-2)2 Unsere Betrachtungen bisher gingen immer vom Zeitpunkt (0) aus, zu dem die Bewegung begann. 1 2 3 4 s t40 30 20 10 s(t) 0 0 Sind stattdessen Geschwindigkeit und Beschleunigung an einem beliebigen Ort der Bewegung bekannt, lt sich die Beschleunigung der Geschwindigkeit und beide gemeinsam der Position berlagern und damit die Bewegung genauso wie zuvor erfassen. s(t) = s(0) + v(0)*t + a*t2 Nun setzt man den Beginn der zeitlichen Betrachtung an die Ausgangsposition 2 und erhlt: v(t) = v(0) + a*t und auch: Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 25 Kinematik Anwendungsbeispiel Zeichnen Sie zu folgendem Geschwindigkeits-Zeit Diagramm das zugehrige Weg-Zeit Diagramm. 1 2 3 4 Geschwindigkeit v [m/s] Zeit t [s] 4 3 2 1 v(t) Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 26 Kinematik Anwendungsbeispiel Lsung 1 2 3 4 Weg s[m] Zeit t [s] 4 3 2 1 s(t) s(t) = v*t + a*(t-2)2 s(3) = 3,5 m s(4) = 6 m s(t) = v*t s(1) = 1 m s(2) = 2 m Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 27 Kinematik Rumliche Bewegung Zur Erfassung rumlicher Bewegung dienen Koordinatensysteme. Rechtwinkeliges kartesisches Koordinatensystem Zylinder-Koordinatensystem Kugel-Koordinatensystem z y r x P (r,,z) e er ez 0 Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 28 Kinematik Angabe eines Orts: P(x,y,z) oder durch den Vektor r = x ex + y ey + z ez mit ex, ey und ez, den Einheitsvektoren (Lnge = 1) in Richtung der Koordinatenachsen Ein Ort wird im dreidimensionalen Raum durch einen Vektor r(t) mit drei Komponenten beschrieben, der vom Ursprung des Bezugssystems (Koordinatensystems) bis zu diesem Ort fhrt. Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 29 Kinematik Geschwindigkeit = r/t = (r(t2) r(t1))/(t2 t1) 0 Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 30 Kinematik Geschwindigkeit 0 Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 31 Kinematik Geschwindigkeit Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 32 Kinematik Vektoralgebra Vektorprodukt Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 33 Kinematik Berechnung Trajektorie aus Geschwindigkeit Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 34 Kinematik Beschleunigung Wie bereits zuvor festgestellt, handelt es sich bei nderung von Geschwindigkeit um Beschleunigung, egal ob es sich um eine Zu- oder Abnahme der Geschwin-digkeit handelt. Auch hier, wie im eindimensionalen Fall, fhrt der Grenzber-gang fr gegen null gehende Zeitdifferenz der durchschnittliche Beschleunigung auf die Momentanbeschleunigung, einschlielich deren Richtung im Raum. Durchschnittsbeschleunigung Momentanbeschleunigung Mit den rumlichen Komponenten: Und dem Betrag der Beschleunigung: 22dtxddtdva xx == 22dtyddtdva yy == 22dtzddtdva zz ==Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 35 Kinematik Berechnung der Geschwindigkeit aus Beschleunigung Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 36 Kinematik Berechnung der Trajektorie aus der Beschleunigung Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 37 Kinematik lex prima Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 38 Kinematik lex prima Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 39 Kinematik lex prima Bereits im Jahre 1638 erkannte und formulierte Galileo das Trgheitsprinzip: Ein sich selbst berlassener Krper bewegt sich geradlinig und gleichfrmig. (Ruhe ist der Spezialfall der Bewegungsgeschwindigkeit 0) Die Gltigkeit beschrnkt sich auf Inertialsysteme (gleichfrmig und geradlinig bewegte Systeme). (So hngt der Betrag der Geschwindigkeit nur vom Bezugssystem ab.) Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 40 Kinematik lex secunda Wir erkennen zunchst eine gleichfrmige, geradlinige Bewegung. Dann wird eine Vernderung des Bewegungszustands herbeigefhrt. Wodurch? Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 41 Kinematik lex secunda Durch eine Kraft, - hier Bremskraft. Also knnen wir durch Krfte Bewegungszustnde ndern. Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 42 Kinematik lex secunda Eine physikalische Kraft hat einen Wert (oder Betrag) und eine Richtung. Die Erfassung der Gre erfolgt nicht mit einer Basiseinheit, sondern mit einer abgeleiteten Einheit. (Ihre Definition betrachten wir nach Untersuchung einer weiteren physikalischen Grundgre.) Die Richtung lt sich, wie bereits bekannt, in einem Koordinatensystem erfassen. Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 43 Kinematik lex secunda Wir haben eine gleichfrmige, geradlinige Bewegung, mit gleicher Geschwindigkeit wie zuvor. Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 44 Kinematik lex secunda und lassen zum gleichen Zeitpunkt genau die gleiche Bremskraft wirken. Was ist das Resultat ? und wieso? Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 45 Kinematik lex secunda Hier hat die Bremskraft nicht ausgereicht. Was war anders als zuvor? die Masse. Also gibt es bei Vernderungen des Bewegungszustands eine Zusammenhang zwischen Kraft und Masse. Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 46 Kinematik lex secunda Diesen Zusammenhang zwischen Kraft, Masse und Beschleunigung hat bereits Newton erkannt und im Aktionsprinzip festgehalten. Er stellt einen Zusammenhang zwischen Impuls und Kraft her. Mit Trennung der Impulsnderung in Masse und Beschleunigung formulierte Leonhard Euler um 1750: F = p F = m a Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 47 Kinematik Masse ist eine Eigenschaft der Materie und eine physikalische Grundgre. Ihre Messung erfolgt daher auch mittels einer SI Basiseinheit. Basisgre/Dimensionsname Masse Grensymbol m Dimensionssymbol M Einheit Kilogramm Einheitenzeichen kg Das Kilogramm ist gleich der Masse des Internationalen Kilogrammprototyps *) 1 kg = *) Kein Bezug zu einer naturwissenschaftlichen Konstante. Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 48 Kinematik Masse ist eigentlich ein sehr abstrakter Begriff, whrend man mit zwei Auswirkungen alltglich konfrontiert ist. Dies sind: Gravitation ist eine der vier Grundkrfte der Physik (in der klassischen Physik Anziehunskrfte zwischen Massen) und Trgheit ist das Beharrungsvermgen eines Krpers den Bewegungszustand beizubehalten Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 49 Kinematik Mit Kenntnis des Zusammenhangs zwischen Masse, Beschleunigung und Kraft ist auch die abgeleitete SI Einheit zur Messung von Kraft evident: Physikalische Gre Kraft Grensymbol F Dimensionssymbol ML/T2 Einheit Newton = kg m/s2 Einheitenzeichen N Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 50 Kinematik Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 51 Kinematik Welche Kraft wirkt auf einen Krper mit der Masse 80kg bei Vollbremsung in einem F1 Auto und in einem PKW? Die Bremsung erfolgte bei einer Geschwindigkeit von 120mph. v0 = 193km/h, vStop = 0km/h Annnahme: Verzgerung gleichfrmig a = v/t F = m*a = m*v/t v0 = 193/3,6 = = 53,6m/s, vStop = 0m/s FFahrerPKW = 80kg*(0m/s-53,6m/s)/4,05s = = - 1058,8 kgm/s2 FFahrerF1 = 80kg*(0m/s-53,6m/s)/2,12s = = - 2022,6 kgm/s2 Univ. Prof. Dipl.-Phys. Dr.-Ing. Andreas Otto Laboratorium fr Laserbasierte Fertigung 52 Kinematik Welche Kraft wirkt bei Vollbremsung auf ein F1 Auto (Masse 620kg) und auf einem PKW (Masse 1500kg)? Die Bremsung erfolgte bei einer Geschwindigkeit von 120mph. v0 = 193km/h, vStop = 0km/h Annnahme: Verzgerung gleichfrmig FPKW = 1500kg*(0m/s-53,6m/s)/4,05s = = - 19.851,9kgm/s2 FF1 = 620kg*(0m/s-53,6m/s)/2,12s = = - 15.675,5kgm/s2 aPKW = v/t/g = - 1,35g aF1 = v/t/g = - 2,58g g Erdbeschleunigung