Einfuehrung in Die Zeitdiskrete Finanzmathematik

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    07-Jun-2015

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Jan KallsenEinfhrungin die zeitdiskreteFinanzmathematik13. Juli 2005Inhaltsverzeichnis0 Mathematische Hilfsmittel 30.1 Absolutstetigkeit und quivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2 Bedingte Erwartung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.3 Lp-Rume und Trennungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Diskrete stochastische Analysis 81.1 Stochastische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Stochastisches Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Mathematische Marktmodellierung 212.1 Wertpapiere und Handelsstrategien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Erster Fundamentalsatz der Preistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Wertpapiere mit Dividenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Konkrete Marktmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Bewerten und Hedgen von Derivaten 363.1 Termingeschfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2 Zweiter Fundamentalsatz der Preistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.1 Forward. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3.2 Future. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3.3 Europische Call- und Put-Optionen im Binomialmodell . . . . . . 443.4 Amerikanische Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 Varianz-optimales Hedgen 525 Portfolio-Optimierung 566 Kohrente Risikomessung 64Literatur 682Kapitel 0Mathematische HilfsmittelIn diesem Kapitel werden einige Ergebnisse zu ma- bzw. wahrscheinlichkeitstheoretischenBegriffen zusammengestellt, die in einer einfhrenden Vorlesung vielleicht nicht zur Spra-che kamen. Ferner wird als funktionalanalytisches Hilfsmittel der auf dem Satz von Hahn-Banach basierende Trennungssatz zitiert, der fr einige Beweise bentigt wird.0.1 Absolutstetigkeit und quivalenzEin ganz wesentlicher Kunstgriff in der Finanzmathematik besteht darin, neben dem eigent-lichen Wahrscheinlichkeitsma weitere zu betrachten, unter denen bestimmte Erwartungs-werte verschwinden. Dabei interessiert man sich aber vorwiegend fr solche Mae, unterdenen die Mengen mit positiver Wahrscheinlichkeit dieselben wie unter dem ursprngli-chen Wahrscheinlichkeitsma sind. Solche quivalenten Mawechsel spielen auch in derStatistik eine wichtige Rolle.Seien , Mae auf einem messbaren Raum (, F).Denition 0.1Das Maheit absolutstetig bezglich, falls jede-Nullmenge aucheine -Nullmenge ist. Man schreibt dafr < .Dabei ist eine -Nullmenge eine beliebige Teilmenge einer Menge N F mit (N) =0. Man fordert bei Nullmengen also nicht unbedingt die Messbarkeit. Dies ist bisweilen austechnischen Grnden sinnvoll.Denition 0.2 undheien quivalent, falls