Einfuehrung in Die Tensorrechnung I

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    22-Jul-2015

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EINFHRUNG IN DIE TENSORRECHNUNG Teil 1 SIEGFRIED PETRY Fassung vom 2. Mai 2011 I n h a l t 1 Einleitung3 2 Grundbegriffe4 2.1 Matrizen und Matrizendarstellung von Vektoren4 2.2Grundlegende Definitionen5 2.3WeitereRechengesetze6 2.3.1Matrizenprodukte und Vektor-Matrix-Produkte6 2.3.2 Spezialfall 1: Produkte zweier einreihiger Matrizen7 2.3.3 Spezialfall 2: Produkte einer einreihigen Matrix mit einer 3 x 3-Matrix7 2.3.3.1 Das Vorprodukt 7 2.3.3.2 Das Nachprodukt8 2.3.3.3 bungen9 2.4Produkte von Vektoren10 2.4.1Das Skalarprodukt 10 2.4.2Das dyadische Produkt 11 2.5Rechengesetze fr Dyaden11 2.5.1Multiplikation einer Dyade mit einem Skalar 11 2.5.2Multiplikation einer Dyade mit einem Vektor12 2.5.2.1Das Vorprodukt12 2.5.2.2Das Nachprodukt13 3Lsungen14 3 Einfhrung in die Tensorrechnung - Teil 1 1Einleitung GegenstanddieserAbhandlungsindzunchstdieTensoren2.Stufe(auchTensorenvomRang2 genannt)1.Tensoren2.StufesindmathematischeOperatoren,diebeiAnwendungaufeinenVektor einen anderen Vektor erzeugen, der bestimmte Eigenschaften hat. (Beispiele folgen spter.) NachFestlegung(Definition,Verabredung)einesKoordinatensystemsknftigkurzBasisoder BasissystemgenanntlsstsichjederTensordurcheineMatrixbeschreiben,d.h.durcheine bestimmteAnzahlvonZahlenineinerbestimmtenAnordnung.FreinenSkalar(Tensor0.Stufe) bestehtdieseMatrixnurausdemSkalarselbst.BeieinemVektorvimdreidimensionalenRaum (Tensor 1. Stufe) besteht die Matrix aus den drei Komponenten v1, v2, v3, die der Vektor bezglich der benutzten Basis hat: ( ). v v v1 2 3 DiesisteineeinzeiligeMatrix oder kurz: eineZeilenmatrix. Mglichist aber auchdieBeschreibung des Vektors durch eine einspaltige Matrix (kurz: Spaltenmatrix): .vvv| | | | |\ .231 Man beachte, dass diese Matrizen lediglich vereinfachte Beschreibungen des entsprechenden Vektors sind,dasssieabernichtmitdemVektoridentischsind.Diesistwichtig,weileinunddemselben VektorinverschiedenenBasenganzverschiedeneMatrizenzugeordnetsind.UmMissverstndnisse undkrasseFehlerzuvermeiden,solltemandieMatrixnichtmitdemVektorgleichsetzen,sondern immernurvonderMatrixdesVektors(bezglicheinerbestimmtenBasis)sprechen.Nheressiehe unter Abschnitt 2.1. Ein Tensor 2. Stufe lsst sich bezglich einer Basis durch eine Matrix mit drei Zeilen und drei Spalten darstellen, durch eine so genannte 3 x 3 Matrix: 11 12 1321 22 2331 32 33.t t tt t tt t t| | | | |\ . Auch hier gilt: Eine solche Matrix ist nur eine von beliebig vielen Darstellungsformen des Tensors.Da Tensoren 2. Stufe bei Berechnungen immer zusammen mit einem Vektor auftreten und die Berech-nungenimmermitMatrizenausgefhrtwerden,sollenzunchstdiedafrbentigtenBegriffeund Gesetze der Matrizenrechnung erklrt werden. 1 Skalare sind Tensoren 0. Stufe, Vektoren sind Tensoren 1. Stufe. 4 2Grundbegriffe2.1Matrizen und Matrizendarstellung von Vektoren EineMatrixvomTyp(m,n)isteinrechteckigesSchemavonmmalnGren,dieinmZeilen (waagerechteReihen)undnSpalten(senkrechteReihen)angeordnetsind.DieseGrenheien Elemente der Matrix. Das Element aik (auch Aik) der Matrix A steht in der i-ten Zeile und in der k-ten Spalte.DieElementederMatrixknnenreelleoderkomplexeZahlensein,aberauchandere mathematische Objekte, wie Vektoren, Polynome, Differentiale und andere. Eine Matrix A vom Typ (m, n) kann so dargestellt werden: ( )( )( )11 12 121 22 2,,1 21, 2, , , 1, 2, , .nnik mnmnm m mni m k na a aa a aaa a a= =| | | |= = | |\ .A (1.1) DabeikannderIndex(m,n)beiAund(aik)auchweggelassenwerden,wennderTypderMatrix entweder offensichtlich oder unwichtig ist. DieinderEinleitungvorgestelltenBeschreibungeneinesVektorsdurcheineMatrixsetzendie VereinbarungeinerBasisvoraus,derdieKomponentendesVektors(alsodieElementederMatrix) zugeordnetsind.DieseBasisbestehtbisaufweiteresimmerausdreiaufeinandersenkrechten Einheitsvektoren e1, e2, e3. (Eine andere gngige Bezeichnung fr diese Basisvektoren ist i, j, k.) Die Komponentendarstellung eines (physikalischen) Vektors v mit den (skalaren) Komponenten v1, v2, v3 zur Basis {e1, e2, e3} = {ei} lautet dann 1 1 2 2 3 3. v v v = + + v e e e (1.2) EineidentischeDarstellungdiesesVektorsalsProduktzweierMatrizenist(unterBenutzungder spter erklrten Gesetze der Matrizenmultiplikation) so mglich: ( )11 2 3 2 1 1 2 2 3 33. v v v v v v| | |= + + | |\ .ev e e e ee(1.3) DieKomponentendarstellungeinesVektorsistalsodasProduktausderZeilenmatrixseiner KomponentenundderSpaltenmatrixderbenutztenBasisvektoren.(ZurBeschreibungdieser BasisvektorenkannmannichtaufeineandereBasiszurckgreifen,weilmandannvorderAufgabe stnde,dieBasisvektorendieserneuenBasiszubeschreiben,waszueinerunendlichenRegression fhrenwrde.DahermussmandieLagederBasisvektorenbezglichdesjeweiligenBeobachters angeben. Dies kann z. B. durch die Vereinbarung geschehen, dass der Vektore1 in der Zeichenebene des Beobachters liegt und nach rechts zeigt, der Vektor e2 ebenfalls in der Zeichenebene liegt und nach oben zeigt. Damit ist auch die Lage des Vektors e3 festgelegt, da er mit den ersten beiden Vektoren ein Rechtssystembildenmuss.WirnehmenimFolgendenimmeran,dasseinederartigeVerabredung getroffen wurde.) 5 AusdemsogenanntenZeilenvektorderAlgebra(inWahrheiteine Zeilenmatrix)wirdalsoerst durchMultiplikation mit der Spaltenmatrix (ei) ein physikalischer Vektor.Aus Gleichung 1.3 folgt auch, dass entgegengesetzt zu hufigen Aussagen ( ) v v v = v1 2 3 ist. Da die Komponentenmatrix eines Vektors nur fr eine bestimmte Basis gilt, wird im Folgenden diese Basis immer als definiert vorausgesetzt. Wir verabreden nun: 1. Die knftig als Vektoren bezeichneten Gren sind stets physikalische Vektoren, also gerichtete physikalische Gren. 2. Die Matrix der Komponenten eines Vektors v wird als Spaltenmatrix geschrieben und mit (v) = (vi) bezeichnet. 3.WennauszwingendenGrnden(z.B.beiderMultiplikationvonMatrizen,sieheunten)die Komponentenmatrix eines Vektors als Zeilenmatrix geschrieben werden muss, benutzen wir fr diese ZeilenmatrixdieBezeichnung(v)T.(v)TheitdietransponierteMatrixderursprnglichenMatrix (v). Aus ( ) ( ) ( )1T2 1 2 33folgt also und umgekehrt.vv v v vv| | |= = | |\ .v vDamit folgt aus Gleichung 1.3: ( ) ( )1 1T1 2 3 2 23 3. v v v| | | | ||= = || ||\ . \ .e ev e v ee e(1.4) Beachte:DerVektorvbleibtunbeeinflusstdavon,oberdurcheineZeilenmatrixoderdurcheine Spaltenmatrixvertretenwird, aber diebeidenMatrizen sind schon darum nicht gleich,weil nach der Definition der Gleichheit (siehe unten) nur Matrizen vom selben Typ (m, n) gleich sein knnen. 2.2Grundlegende Definitionen GleichheitzweierMatrizen:ZweiMatrizenAundBsindgleich,wennsievomselbenTyp(m,n) sind und alle einander entsprechenden Elemente der Matrizen gleich sind. Es ist also wenn fr alle ,gilt: , .ik iki k a b A B = =Summe und Differenz zweier Matrizen:Voraussetzung fr dieExistenz von Summeund Differenz ist,dassbeideMatrizenvomgleichenTyp(m,n)sind.UnterdieserBedingungsindSummeund DifferenzzweierMatrizenwiederjeeineMatrix.ZurBildungvonSummeundDifferenzwerden einander entsprechende Elemente der beiden Matrizen addiert bzw. subtrahiert. Es ist also wobei fr alle , gilt: , .ik ik iki k c a b A B C = = 6 Multiplikation einer Matrix A mit einem Skalar: Das Produkt eines Skalars und einer Matrix ist wiedereine Matrix. Eine Matrix wird mit einem Skalar multipliziert, indem alleihreElementemit dem Skalar k multipliziert werden. Es ist also wobei fr alle,gilt: , .ik iki k b ka k A B = =2.3Weitere Rechengesetze AuchdiefolgendenRechengesetzesindkeineNaturgesetzeoderlogischableitbareVorschriften, sondernErgebnissevon Verabredungen,die jedoch nicht willkrlich oder beliebig getroffenwurden, sondern wie immer in der Mathematik auf gewissen Grundstzen und Vorberlegungen beruhen, auf die hier jedoch nicht nher eingegangen werden soll.2.3.1Matrizenprodukte und Vektor-Matrix-Produkte Das Produkt AB zweier Matrizen A und B kann nur gebildet werden, wenn die Anzahl der Spalten von AgleichderAnzahlderZeilenvonBist.Diese Verkettbarkeitsbedingung ergibtsichausder folgenden Vorschrift zur Berechnung des Matrizenproduktes.Allgemeingilt:DasProduktABzweierMatrizenisteineMatrixC.DieAnzahlihrerZeilenist gleich der Anzahl der Zeilen von A, die Anzahl ihrer Spalten gleich derAnzahl der Spalten von B. Die rote Markierung zeigt die Voraussetzung (Verkettbarkeitsbedingung) an, die blaue und die grne zeigen den Einfluss der Zeilen- bzw. Spaltenzahl von A bzw. B auf das Ergebnis C. Rechenvorschrift: Das Element cik der Produktmatrix ist das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der k-tenSpalte vonB. (ber Skalarprodukte zweier Vektoren siehe unten.) Bei der Berechnung des Skalarprodukts werden die Zeilen undSpalten wie (physikalische) Vektoren behandelt, das heit, die ElementederZeilenundSpaltendenkemansichzunchstmitdenentsprechendenEinheitsvektoren multipliziert, dann wird dieeigentliche Multiplikation vorgenommen.Dabei geltendieeinschlgigen Gesetze der Vektoralgebra: e1 e1 = e2 e2 = e3 e3 = 1 und e1 e2 = e2 e3 = e3 e1 = 0. Wir begngen uns hier mit dem Beispiel zweier 3 x 3 Matrizen: Es seien 11 12 13 11 12 1321 22 23 21 22 2331 32 33 31 32 33, .a a a b b ba a a b b ba a a b b bA B| | | | ||= || ||\ . \ .=Dann ist 11 12 1321 22 2331 32 33,c c cc c cc c cAB C| | |= =| |\ . 7 wobei ( ) ( )3111 11 1 12 2 13 3 11 1 21 2 31 311 11 12 21 13 31aus der 1. Zeile vonaus der 1. Spalte von 1 1,i i ic a a a b b ba b a b a ba bA Be e e e e e== + + + += + += ( ) ( )12 11 1 12 2 13 3 12 1 22 2 32 311 12 12 22 13 3231aus der 1. Zeile vonaus der 2. Spalte von 2 1,ii ic a a a b b ba b a b a ba bA Be e e e e e== + + + += + += Also ist das Produkt zweier 3 x 3 Matrizen A und B 11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 32 11 13 12 23 13 3321 11 22 21 23 31 21 12 22 22 23 32 21 13 22 23 23 3331 11 32 21 33 31 31 12 32 22 33 32 31 13 32 23 33 33.ab ab ab ab ab ab ab ab abab a b a b ab a b a b ab a b a bab a b ab ab a b ab ab a b abAB+ + + + + + | | |= + + + + + + | |+ + + + + +\ .(1.5) 2.3.2Spezialfall 1: Produkte zweier einreihiger Matrizen Mit Rcksicht auf die Verkettbarkeit gibt es zwei Mglichkeiten. Die erste ist:

( )11 11 11 11 12 11 1321 11 12 13 21 11 21 12 21 1331 31 11 31 12 31 13.a ab ab aba b b b ab ab aba ab ab ab| | | | ||= || ||\ . \ .(1.6) DasProduktisteine3x3Matrix.SiewirdunswiederbegegnenbeimdyadischenProduktzweier Vektoren. Die andere Mglichkeit ist ( )1111 12 13 21 11 11 12 21 13 3131.ba a a b ab ab abb| | | = + + | |\ .(1.7) Wenn alle aik, bik reelle Zahlen sind, ist das Ergebnis die Summe dreier reeller Zahlen, also ebenfalls einereelleZahl, diemanauch als1 x 1 Matrix interpretierenkann.Dieser Fall begegnet unswieder beim Skalarprodukt zweier Vektoren. 2.3.3Spezialfall 2: Produkte einer einreihigen Matrix mit einer 3 x 3 Matrix JenachderStellungdereinreihigenMatrixBzur3x3MatrixAsindwiederzweiFllezuunter-scheiden, das Vorprodukt und das Nachprodukt. 2.3.3.1Das Vorprodukt DasVorproduktBAkannwegenderVerkettbarkeitsbedingungnurgebildetwerden,wennBeine Zeilenmatrix ist. Dann ist8 ( )11 12 131 2 3 21 22 2331 32 33.a a ab b b a a aa a aBA| | |= | |\ .(1.8) Nach den Regeln der Matrizenmultiplikation ist das Ergebnis eine Zeilenmatrix:

( )1 11 2 21 3 31 1 12 2 22 3 32 1 13 2 23 3 33. b a ba b a b a ba b a b a ba b a BA= + + + + + + (1.9) IstdieMatrixBdietransponierteMatrix(v)TeinesVektorsv,dannwirddieZeilenmatrixinGlei-chung 1.9 (mit bi ersetzt durch vi) als die transponierte Matrix (w)T eines Vektors w interpretiert. ( )( ) ( )T T1 11 2 21 3 31 1 12 2 22 3 32 1 13 2 23 3 33v a v a v a v a v a v a v a v a v a = = + + + + + + w v A (1.10) Fr den Vektor w selbst gilt dann ( ) ( )1 1T T2 23 3.| | | | || (= = || ||\ . \ .e ew w e v A ee e(1.11) ( ) ( ) ( )1T2 1 11 2 21 3 31 1 1 12 2 22 3 32 2 1 13 2 23 3 33 33( ) . v a v a v a v a v a v a v a v a v aew w e e e ee| | |= = + + + + + + + + | |\ .(1.12) Das Vorprodukt des Vektors v und der Matrix A wird dann als dieser Vektor definiert: ( )DefT.ev A w v A ee| | | (= | |\ .123(1.13) DarundeKlammernzurKennzeichnungvonMatrizendienen,wirddieReihenfolgederMultipli-kationen durch eckige Klammern geregelt. 2.3.3.2Das Nachprodukt Hier muss wegen der Verkettbarkeitsbedingung die Matrix B als Spaltenmatrix geschrieben werden:

11 12 13 121 22 23 231 32 33 3.a a a ba a a ba a a bAB| || | | | | | | |\ .\ .=(1.14) Das Ergebnis ist nach den Regeln der Matrizenmultiplikation eine Spaltenmatrix:

11 1 12 2 13 321 1 22 2 23 331 1 32 2 33 3.ab ab abab a b a bab a b abAB+ += + ++ +| | | | |\ .(1.15) Ist die Matrix B die Spaltenmatrix (v) eines Vektors v, dann wird die Spaltenmatrix in Gleichung 1.14 (mit bi ersetzt durch vi) als die Spaltenmatrix (w) eines Vektors w interpretiert. Fr den Vektor selbst gilt dann 9 ( ) ( )( ) ( ) ( )1 12 23 311 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3.TT(1.16)av a v av a v a v a v a v a v a v| | | | || ( = = || ||\ . \ .= + + + + + + + +e ew w e Av ee ee e e Das Nachprodukt des Vektors v und der Matrix A wird dann als dieser Vektor definiert: ( )1DefT23.| | | ( = | |\ .eAv w A v ee(1.17) 2.3.3.3bungen bung 1.1 Beweisen Sie, dass v E = v, wobei die 3 x 3 Einheitsmatrix und v ein beliebiger Vektor ist. bung 1.2 Beweisen Sie die Distributivitt des Vorprodukts: | | , + = + A B v vA vB (1.18) wobei A und B 3 x 3 Matrizen sind und v ein Vektor ist. bung 1.3 Beweisen Sie: | | . + =+ E A v v vAE = Einheitsmatrix bung 1.4Beweisen Sie: E v = v, wobei E die 3 x 3 Einheitsmatrix und v ein Vektor ist bung 1.5 Beweisen Sie die Distributivitt des Nachprodukts: | | , + = + A Bv Av Bv (1.19) wobei A und B3 x 3 Matrizen sind und v ein Vektor ist. 10 bung 1.6 Beweisen Sie: | | , + =+ E Av v Avwobei v ein Vektor, A eine 3 x 3 Matrix und E die 3 x 3 Einheitsmatrix ist. 2.4Produkte von Vektoren Es gibt drei Arten von Produkten von je zwei Vektoren: -Das Skalarprodukt,-das Vektorprodukt und-das dyadische Produkt, wovon das Vektorprodukt hier nicht bentigt wird. 2.4.1Das Skalarprodukt InderVektoralgebrawirddasSkalarproduktvwzweierVektorenimHinblickaufphysikalische Belange basisunabhngig so definiert: cos , vw vw =(1.20) wobei v und w die Betrge der beiden Vektoren sind und der von ihnen eingeschlossene Winkel ist. BeschreibtmandieVektorendurchihreKomponentenbezglicheinerBasis{e1, e2, e3},dannerhlt man fr ihr Skalarprodukt formal die Gleichung ( ) ( )1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3. v v v w w w vw e e e e e e = + + + +(1.21) InderVektoralgebrawirdgezeigt,dassdieskalareMultiplikationdistributivist.Daherknnendie Klammern nach den Regeln der Algebra ausmultipliziert werden. Bercksichtigt man dabei, dass 1 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 31, 0, e e e e e e e e e e e e = = = = = =was sich aus der Definitionsgleichung 1.20 fr = 0 bzw. 90 ergibt, so erhlt man 1 1 2 2 3 3. v w v w v w vw = + + (1.22) DierechteSeitederGleichung1.22istidentischmitdemProduktderZeilenmatrix(v)Tundder Spaltenmatrix (w): ( )1T1 1 2 2 3 3 1 2 3 23( ) ( ).wv w v w v w v v v wwv w| | | | |\ .+ + = = Also gilt: ( ) ( )T. cos vw vw v w = = (1.23) 11 2.4.2Das dyadische Produkt Das dyadische Produkt (kurz: Dyade) zweier Vektoren v und w wird geschrieben v w und gelesen: v mal im Kreis w. Wie die beiden Vektoren ist...