Die meisten konvexen Krper sind glatt, aber nicht zu glatt

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    10-Jul-2016

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Math. Ann. 229, 259--266 (1977) by Springer-Verlag 1977 Die meisten konvexen Ki~rper sind glatt, aber nicht zu glatt Peter M. Gruber Institut f'tir Mathematische Analysis, Technische Universit~it, GuBhausstr. 27--29, A-1040 Wien, Osterreich 1. Einleitung Dem Folgenden legen wir den d-dimensionalen euklidischen Raum E a zugrunde. c~=C~(Ed) sei die Menge der kompakten, konvexen Teilmengen von E a mit nichtleerem Inneren, also der (eigentlichen) konvexen K/Srper. P. McMullen hat kiirzlich das Problem aufgeworfen, ein ,,verniinftiges MalY' auf ~ anzugeben und zu zeigen, dab ,,die meisten" konvexen K6rper nicht glatt sind. Die vorliegende Arbeit beschiiftigt sich damit und mit verwandten Fragestellungen. Als ,,MaIY' werden wir den Baireschen Kategorienbegriff heranziehen. In jedem lokalkompakten und in jedem vollst~indigen metrischen Raum ist nach Baire (s. [5], S. 132, 133) eine Teilmenge yon erster Kategorie ,,klein" im Vergleich zu ihrem Komplement. Dabei heil3t eine Menge yon erster Kategorie, wenn sie sich als abz~ihlbare Vereinigung yon nirgends dichten Mengen darstellen 15.13t. Eine abz~ihlbare Vereinigung abgeschlossener Mengen nennt man eine F~-Menge. Fiir C, DCE a und ~.elR sei C+D:={x+yIxeC, yeD} und 2c:={2xlxeC}. Ferner sei B die Einheitskugel yon E n. Dann ist & definiert durch 6(C,D):=inf{2~IR+ICCD+2B, DCC+AB} f'fir C, DeC~, die Hausdorff-Metrik auf~ ([4], S. 293, [1], S. 60). c sei yon nun an mit der durch 6 induzierten Topologie versehen. Aus dem Auswahlsatz yon Blaschke ([1], S. 62) folgt, dab cg lokalkompakt ist. Im zweiten Abschnitt wird gezeigt, dab alle konvexen K6rper aus ~ glatt and streng konvex sind, ausgenommen die aus einer gewissen F~-Menge yon erster Kategorie in ~. Dieses Resultat steht in gewissem Kontrast zu einem bekannten Satz tiber stetige und differenzierbare Funktionen. Es erhebt sich nun die Frage, ,,wie glatt" und ,wie streng konvex" ein typischer konvexer Ktirper ist. Ein ein laches MaB ftir die Glattheit eines K6rpers ist die Angabe der Differentiationsklasse cgk, der er (genauer, der sein Rand, aufgefal3t als Fliiche) angeh6rt. Geh6rt ein Ktirper CeCg zu einer Klasse cgk mit k>2, so kann - wie unten gezeigt wird - eine Kugel in ihm frei rollen. Da Glattheit und strenge Konvexit~it duale Eigenschaften sind, bietet sich als nattirliche Versch~ir fung f'tir den Begriffstreng konvex die Forderung 260 P .M. Gruber an, dab der K6rper in einer Kugel frei rollen kann. Wie verwenden aber einen etwas umfassenderen Begriff. Es zeigt sich, dab die konvexen K6rper, welche mindestens zur Klasse c~2 gehSren und ebenso die KSrper, welche ,gleichmN3ig streng konvex" sind, nur eine Menge yon erster Kategorie in c bilden. Der dritte Abschnitt enth~ilt entsprechende Aussagen Rir die Menge o~ der beschr/inkten, konvexen Funktionen, die auf einer beschriinkten, offenen und konvexen Teilmenge DCE d definiert sind. ~ ist dabei mit der Topologie der Supremumsnorm versehen und somit ein vollst~indiger metrischer Raum. Die Menge JV" der Normen auf E d, ausgestattet mit der Topologie der gleich- mN3igen Konvergenz auf Kompakta, wird im vierten Abschnitt betrachtet. Ftir mehrere Hinweise zu einer ersten Version dieser Arbeit danke ich Herrn R.Schneider sehr herzlich. Herr Schneider hat mir auch mitgeteilt, dab er und G.Choquet Teile unserer Resultate gefunden haben. AuBerdem stammt das folgende Ergebnis yon ihnen: Alle konvexen K6rper yon c~ sind unzerlegbar (s. [10]), ausgenommen die aus einer bestimmten F~-Menge yon erster Kategorie in c~. Dabei ist d > 3 vorausgesetzt. Ein analoger Satz gilt ftir konvexe Funktionen. In E d sei eine feste orthonormale Basis gew~ihlt. I[ 11 bezeichne die euklidische Norm yon E ~. Durchmesser, Rand und Inneres in E ~, ~, ~- .... werden durch diam, bd und int angedeutet. 2. Konvexe Ktirper Um die Frage, wie streng konvex ist ein typischer konvexer K6rper C~C#, besser in den Griff zu bekommen, definieren wir folgendes. Die Anregung dazu ist der fiblichen Definition gleichm~iBig konvexer normierter (unendlich-dimensionaler) R~iume und einem Resuttat von Kir6ev und Trojanski [6] entnommen. Fiir CeCal und eEIR + sei falls diamC ~ e, (1) : --0 sonst. Wir halten nun eine stetige Funktion go :IR + ~IR + mit lira q~(x)=0 lest (z. B. go(x): x--~ +0 =xl/X). C heiBe q~-gleichma'flig streng konvex, wenn 8(C,e)~q~(e) gilt f'fir alle hinreichend kleincn eE1R +. Offenbar ist C dann streng konvex. Satz 1. Alle konvexen K6rper yon c~ sind glatt, d. h. sie geh6ren zu ~gl, und stren9 konvex, ausgenommen die aus einer bestimmten F~-Menge yon erster Kategorie in c~. Daoegen bilden die konvexen K6rper yon cg, die zu cd2 #eh6ren oder 6o-91eichmi~fli9 stren O konvex sind, nur eine Menge yon erster Kategorie in c#. Beweis. Offenbar gilt folgendes: C, C1, C 2 ..... ~cd, C1,...--*C, / P eEe, Pl ebdC1, p2ebdC2,-.-,Pl .... op ~pebdC. , (2) Man nennt eine Folge von Hyperebenen Hx,H 2 .... in E d konvergent gegen eine Hyperebene H in E d, wenn man Punkte peH, pleH~, P2eH2 .... w~ihlen kann, Konvexe K6rper 261 so dab Pl .... -+p strebt und aul3erdem Normaleneinheitsvektoren von H 1 .... gegen einen Normaleneinheitsvektor von H streben. Die folgende Aussage ist klar: C, C 1, C 2 .... Ec#, C 1 .... C, H Hyperebene m E , H1, Ha,.. . (3) f Sttitzhyperebenen von C I .... , H1 .... - -+H~H Stiitzhyperebene yon C. Fiir ne N sei gg, := {CCglbdC enth/ilt eine Strecke der L/inge > 1/n}. (4) Dann gilt cg, ist abgeschlossen und nirgends dicht in cg. (5) Zum Beweis der Abgeschlossenheit seien Ceg, C1,C 2 . . . . ecg, gew~ihlt mit C~ ... . ~C. Es ist zu zeigen, Ce~, . Dazu whhlt man Punkte q~, r~ebdCl , q2, r 2 bd C2,..., so dab die Strecken [q,, r l] .... in bdC1, ... liegen und alle eine L/inge > 1In haben. Da C~ .... ~C gilt, liegen C~, ... alle in einem festen beschr/inkten Bereich von E ~. Nach eventuellem Obergang zu einer geeigneten Teilfolge von C 1 ..... kann man daher annehmen, dab ftir passende q, re E a gilt q~ .... ~q, r~ .... ~r . Ftir 2~[0,1] folgt damit (1 -2 )q~+2r , .... ~(1 -2)q+2r . Da auBerdem (1-2)q~ +2rl ebdC 1 .... und C~ .... --+C gilt, ergibt sich aus (2) (1 - )~)q+2rebdC. Da 2 [0,1] beliebig war, folgt [q,r]CbdC. Da die Strecken [q~,rl] .... alle eine L/inge ~ 1/n haben, besitzt auch [q, r] eine L~inge >___ 1/n. Insgesamt ergibt sich C ~ cg,. cg,, ist also abgeschlossen. Zum Nachweis, dab cg, nirgends dicht ist, gentigt es daher zu zeigen, intg', = 0. W/ire integ, #0, so enthielte cg. K6rper aus jeder in cg dichten Menge konvexer K6rper, insbesondere auch streng konvexe K6rper, was unm/Sglich ist. cg, ist also nirgends dicht in cg. Damit ist (5) bewiesen. Nun sei ftir nEIN @,:={Ce~g[Durch einen passenden Punkt yon b'dC gehen zwei ] Sttitzhyperebenen, deren nach auBen weisenden I (6) Normaleneinheitsvektoren einen Winkel > 1/n einschlieBen.} Die Aussage, @, ist abgeschlossen und nirgends dicht in cg, (7) ergibt sich unter Zuhilfenahme von (3) durch einen Schlu$, der zum Beweis (6) ,,dual" ist. Wir gehen nicht n/iher darauf ein. Wegen (4) und (6) ist die Menge der konvexen K/Srper in cg, die nicht glatt oder nicht streng konvex sind, genau die Menge ~g,w~, . Wegen (5) und (7) ist das eine Fo-Menge von erster Kategorie in cg. Damit ist der erste Teil des Satzes bewiesen. Die drei folgenden Aussagen sind klar: C, C,,C2,...ecg, C 1 .... -+C, p~bdC ~ es gibt px6bdC> p2~bdC2 . . . . mit Pl .... --+P, C, C1, C 2 .... , D, DI,D 2 .... ~ , CI,. . .-+C, D l .... -+D, C1CD ~ .... ~ CCD. C, C~,C2, . . .~ , C~,...-+C, diamCt .. . . ga>O=>diamC>=. (8) (9) 00) 262 P. M, Gruber Man sagt, eine Kugel vom Radius 0 E lR + kann in einem konvexen K6rper Ce cg frei rollen, wenn es zu jedem psbdC einen Punkt q gibt mit pEq+QBCC. Mit einer Kugel vom Radius Q kann natfirlich auch jede Kugel mit kleinerem Radius in C frei rollen. Ffir ne N sei 8, := {Ce~lIn C kann eine Kugel vom Radius tin frei rollen}. (11) Die Behauptung, g, ist abgeschlossen und nirgends dicht in cg, (12) sieht man wie folgt ein : Aus (8) und (9) ergibt sich sofort die Abgeschlossenheit yon g,. Zum Beweis, dab g, nirgends dicht ist, muB daher nur mehr intg, + 0 bewiesen werden. Wiire intg, 4: 0, so wtirde g, sicherlich Polyeder enthalten. Nach Definition (11) yon g,. sind aber alle KiSrper von 8, glatt. Widerspruch. ~, ist also nirgends dicht. Damit gilt (12). Das n~ichste grtil3ere Ziel ist der Nachweis yon ~n~ 2 C ~ g, . (13) Aus einer genaueren Version des Satzes fiber implizite Funktion ergibt sich die folgende, wohlbekannte Aussage: C~Cgc~cg 2, N zweidimensionale Ebene, Nnint C 4 = 0 / (14) ~C N : = CnNE~(N)m~ 2 . f Nun gilt folgendes: Es sei d = 2 und C6 cgn cg2 Ferner sei ~ IR + das Maximum des Absolut- ] betrages der Kriimmung yon bdC. Dann kann ein Kreis vom Radius / (15) 1/~ in C frei rollen. Andernfalls zeigt ein elementarer SchluB die Existenz eines Kreises K vom Radius < l/e, der C in einem Randpunkt p berfihrt, so dab fiir eine Umgebung U von p gilt U c~ C C U nK . Der Absolutbetrag der Kriimmung von bd C in p mul3 also > 1/0 > sein. Dieser Widerspruch best~itigt (15). Die n~ichste Aussage lautet wie folgt: Es sei d > 2 und C e CgnCg 2. Dann gibt es ein pc IR +, so dab eine Kugel vom (16) Radius 0 in C frei rollen kann. 1 e IR + sei das Maximum der Absolutbetriige der Hauptkrfimmungen von bd C. Aus Stetigkeitsgrfinden gibt es eine Zahl 0~s [0, n/2[ mit folgender Eigenschaft : Ist N eine zweidimensionale Ebene durch einen Punkt von bd C, welche die Fl~ichennor- male von bd C in diesem Punkt enth~ilt, dann schliet3en alle Fl~ichennormalen von bdC in den Randpunkten des zweidimensionalen KiSrpers CN:= CnN mit N einen Winkel Konvexe K6rper 263 Dann kann man aber eine zweidimensionale Ebene N so durch p legen, dab der Kreis KN:=KcnN nicht ganz in CN:=Cc~N liegt, obwohl K N und C N im gemeinsamen Randpunkt p dieselbe Normale besitzen. Das heiBt, ein Kreis vom Radius 0 kann in C N nicht frei rollen. Widerspruch. Damit ist (16) beweisen. Aus (11), (15) und (16) folgt (13). Fiir neN sei .~',: = {C~C~IO(C,e)~q)(5) r atle e.~]O, l/n]}. (17) Dann gilt, J~, ist abgeschlossen und nirgends dicht in cg. (18) Den Beweis ftir die Abgeschlossenheit von Y, kann man in folgender Weise f'tihren : Es sei Ce ~, C1, C2 .... e ft, und es gelte C1,...--* C. Da nach (1) und (17)jedenfalls diam C1 .... > 1/n ist, folgt aus (10) diam C > 1/n. Es sei nun 5e ]0, 1/n] gewghlt. Wir zeigen 0(C,~)~o(5). Dazu seien x,y~C so gew~ihlt, dab l[x-yl] =5 ist. Wegen x, yeC und C1, ...--,C gibt es x 1, yleC1 .... mit x1, x 2 . . . . --*x, Yl, Y2 . . . . --*y und ~t:l := IlXI - -Y l iI, e2:~-~-IIx2 --Y211 . . . . ---~ ~---f ix-YlI . Nachdem man eventuell xl, xz, ... durch andere Punkte ersetzt hat, darf man annehmen, dab ~1, 52, ... ~ 1In gilt. Wir merken nun an, dab das in der Definition von 0(C,5) auftretende Supremum angenommen wird, ferner dab q) stetig ist. Aus C t .... ~ ~-,, (17), (1) folgt (x t +yl)/2 +qo(~I)BCC1, (x2 + Y2)/2+~o(52)BCC 2 .... Wegen (xl + yl)/2, . .~(x+y)/2, e~ .... ~e, C1,..,-~ C ergibt sich nach (9) (x + y)/2 + ~o(e)B C C. Damit ist O(C, e) > ~o(5) nachgewiesen fiir alle 5e ]0, 1/n]. Das heil3t, Ce J~,. ~, ist also abgeschlossen. W~ire ,~-. nicht nirgends dicht, so w~ire int,~-.+0. ~, enthielte also Polyeder, im Widerspruch dazu, dab alle K/Srper in ~-, streng konvex sind. Damit ist (18) bewiesen. Aus der Definition des Begriffes gleichm~igig streng konvex and (17) folgt {CeCg[ C q~-gleichm~iBig streng konvex} = ~oj . . (19) Aus (12) und (18) folgt, dab Ug , w U~, von erster Kategorie in cg ist. Die Menge der konvexen K6rper in :g, die zu ~2 geh6ren oder ~o-gteichm/iBig streng konvex sind, liegt aber nach (13), (19) in Ueg, w~, , ist also selbst von erster Kategorie in ~. Damit ist auch der zweite Tell von Satz t bewiesen. Andere Beweise von (15) und einer Versch~irfung von (16), allerdings unter zus~itzlichen Voraussetzungen, haben [1], S. 114ft., [11], S. 69 und [7] angegeben. 3. Konvexe Funktionen ~.hnlich wie bei den konvexen K6rpern definieren wir zur Unterscheidung ,,verschieden stark" streng konvexer Funktionen folgendes. Fiir fe o~ und eE IR + sei 0(f ~):=inf{f(x) 2 f (Y!~-f(x+2Y)lx, y~D, 'Ix-yll =e} f'tir d iamD>e, :=0 sonst. (t) Wir halten wieder eine stetige Funktion ~0 :IR + --,IR + mit lim ~o(x) =0 fest. fheiBe x~+O q~-gleichmiiflig stren9 konvex, wenn O(f ~)> q~(e) ftir alle hinreichend kleinen 5elR + gilt. Offenbar ist f dann streng konvex. 264 P. M, Gruber Satz 2. Alle konvexen Funktionen in ~ sind 91att, d. h. sie 9eh6ren zu ~, und stren9 konvex, ausgenommen die aus einer bestimmten F~-Menge yon erster Kategorie in ~. Dagegen bilden die konvexen Funktionen yon ~, die zu c~2 9eh6ren oder (o- 9leichmgtfli9 stren 9 konvex sind, nur eine Menge yon erster Kategorie in ~. Beweis. Es sei D~ CD2... CD eine Folge konvexer KSrper mit UD,,=D. Ftir ne N sei ~. :={f~,~' IEs gibt p~D.,q~E d mit IIqll=l und ] f (p+zq)+f (p -w) -2 f (p ) ]>z /n far alte zelR + und p+_zqED}, N. :={fe~lEs gibt p, qeD,, mit I lp-ql l>l/n und f ( (1 -2 )p+2q)=(1-2) f (p )+2f (q ) fiir alle 2el0, 13}. Ohne Schwierigkeiten sieht man, dab die ~, N, alle abgeschlossen und nirgends dicht in ~- sind. U o~,w U N, ist also eine F~-Menge yon erster Kategorie in ft . Andererseits ist diese Menge genau die Menge der konvexen Funktionen yon Y, die nicht glatt oder nicht streng konvex sind. Damit gilt die erste Aussage des Satzes. Es sei nun N:=o~c~c~ ~ und ffir m,n~N sei N,~. := {f ~NtlL,(x)l ~m, lf~,(x)-~(y)l KonvexeK6rper 265 Andererseits ist (9c~,,,=0. Daraus folgt (4). Nun sei ftir neN ~,,,:= {.f~lO(f,e)>~o(e) ftiralle eE]O, 1/n]}. (5) Ein SchluB, wie er schon mehrfach angewendet wurde, fiihrt zur Aussage ~, ist abgeschlossen und nirgends dicht in ~. (6) Aus (4) und (6) folgt, dab ~ (#,,,u U Jeg, yon erster Kategorie in ~ ist. Da nach (2) und (5) die Funktionen in ~,, die zur Klasse (gz geh0ren oder ~p-gleichm~il3ig streng konvex sind, in UN, . ,w~, enthalten sind, bilden sie selbst eine Menge erster Kategorie in ~-. Damit ist der zweite Teil vom Satz 2 bewiesen. 4. Normen Ftir eine Norm 11 auf E a definieren wir fiir ee]0,2] O([ ], e) : = inf{ 1 - [x + y[/2[ x, y ~ E d, [x[ = ]Yl = 1, ]x - y[ = e}. Es sei q~: 1R+-~IR + eine feste stetige Funktion mit lim ~0(x)=0 wie in den x--+ + O Abschnitten 2 und 3. Wir nennen ] ] dann q)-gleichmiiflig streng konvex, wenn fiir alle hinreichend kleinen eelR + gilt 8(J 1,0>q~(e). [l ist dann jedenfalls streng konvex. (Nach Kir6ev und Trojanski [6] ist II genau dann euklidisch, wenn lim ~9(1 ],0/e 2 ~+O vorhanden und gleich 1/8 ist.) Satz 3. Alle Normen yon .At sind glatt, d.h. sie geh6ren zu (g~, und streng konvex, ausgenommen die aus einer bestimmten F~-M enge yon erster K ategorie in ~ Dagegen bilden die Normen yon Y,, welche zu cg2 geh6ren oder q)-gIeichmiiflig streng konvex sin& nur eine Menge yon erster Kategorie in jK Der Beweis dieses Satzes kann ~ihnlich wie der yon Satz 2 gefiihrt werden. Die Topologie yon ,~2 wird durch folgende Metrik 6 induziert: 6(I I1,112) := sup{I [xl--]x]2lxeB} ftir 111,112 e~/'. Ferner ist die )~quivalenz der Normen in Jf~ und yon rI ti zu beachten. Eine andere Beweism6glichkeit ergibt sich aus dem Zusammenhang der Normen mit ihren Einheitskugeln. 5. SchluBbemerkung Von unserem Standpunkt aus haben wir auf die Frage yon McMullen eine negative Antwort erhalten. Bei anderen Standpunkten sind andere Antworten denkbar. Die Untersuchung der Fragen, wie glatt oder wie streng konvex ist ein typischer konvexer K0rper, l~13t sich vermutlich verfeinern. Es ist naheliegend, analoge S~itze f/fir weitere Eigenschaften yon konvexen K6rpern zu beweisen oder auch allgemeinere Situationen zu betrachten. Einige Hinweise darauf findet man in [3]. 266 P.M. Gruber 6. Nachtrao bei der Korrektur Herr Zamfirescu hat mich in ffeundlicher Weise darauf aufmerksam gemacht, dab die erste Aussage iiber Glattheit und strenge Konvexit~it in Satz 1 (die auch Choquct und Schneider gefunden haben; vgl. die Einleitung) in einem allgemeinen, analog bewiesenen Ergebnis yon Klee [12] ent- halten ist. Literatur 1. Blaschke, W.: Kreis und Kugel. Leipzig: Gtischen 1916, New York: Chelsea 1949, Berlin: de Gruyter 1956 2. Eisenhart,L.P.: Riemannian geometry. Princeton: Princeton University Press 1949 3. Gruber,P.M. : The space of compact subsets of E d. Eingereicht 4. Hausdorff, F.: Grundztige der Mengenlehre. Leipzig: G6schen 1914, New York: Chelsea 1949, 1965 5. Holmes, R.B. : Geometric functional analysis and its applications. New York, Heidelberg, Berlin: Springer 1975 6. Kir6ev, K.P.,Trojanski, S.L.:lSbereineCharakterisierungvon R~iumenmit skalaremProdukt. C.r. Acad. Bulgar. Sci. 28, 445~7 (1975), (Russ.) Zbl. 327, 46031 (1977) 7. Koutroufiotis, D.: On Blaschke's rolling theorems. Arch. Math. 23, 655--660 (1972) 8. Kreyszig, E.: Differentialgeometrie. Leipzig: Geest and Portig 1968 9. Oxtoby,J.C.: Mal3 und Kategorie. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1971 10. Shephard, G.C.: Decomposable convex polyhedra. Mathematika 10, 89--95 (1963) 11. Vincensini,P. : Corps convexes. S6ries lin6aires. Domains vectoriels. Paris: Gauthier-Villars 1938 12. Klee, V.: Some new results on smoothness and rotundity in normed linear spaces. Math. Annalen 139, 51--63 (1959) Eingegangen am 7. MS.rz 1977

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