Das Problem des Winkelspiegels

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    06-Jun-2016

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145 Durch die Centrifulgalkraft wird bei der Rotation des Tropfeiis seine Dicke iu der Mitte geringer, am Rande da- gegen griilser; in diesem Falle steigt der Dampf leichter durcli die Mitte herauf, die Eruptionsforin bildet sich, und die iin untcren Theile des Tropfens liegendeu Korner mer- den niit nach dem Centruin fortgerissen. Diescr Erklarung gemers iviil.de aufser der vibrirenden Bewcgung der eiiizclncn Theilchcii des sphiiroidalen Trop- fens uocli eiiie trauslatorische stattfiiideu, wenigstens bei deli Theilchen der Gesammtoberfliiche, deiin dieselbe im Innerii des Tropfens nufzufindcii, ist mir bis jetzt noch nicht gelungen. Mnestricht, dcii 12. April 1831. XII. Dus Problem des Winkelspiegels; con Dr. A d a m W e i f s in Ansbach. D e r Aufsatz auf Seite 2S8 dcs 82. Bandes veranlafst inicIi zur Veriiffentlicliung nachstehender analytischen Losuiig des genaiiiitcn Problcms, welclies ich aus demselben Grunde wie B e r t i n zwnr Iangst schon in den Lehrbuchern der Pliysik vermifstc, aber dennocli wcgeii der Unwichtigkeit der Aufgabe selbst iiicht veriiffeiitlichte illN und M'W stellen zwei cbene Spiegel seiikrecht auf der Papierflaclie, 0 ihre Axe mid MON'=y ihren Nei- gungsminkel vor. A ist ein leuchtender Punkt, A, ist sein Gild iin Spiegel M N , dessen Ort, wie bekannt, dadurch gefuiiden wird, dafs m a n mit OA einen Kreisbogen zieht uncl i i , M = A M = n macht. Voii A, eiitstehl im Spiegel ). 1 ) Znclrdeni schon der Brief an den Ilrn. Herausgeler d . ~1. gesrlrlosseii w a r , erliiclt ich Iieute zufillig erst d a s vierte IIeft, in wclcliem Dr. G a l l e i i k a m p ruit ganz derselben Einleitung und, so riel icll rnicli in der Eile ubcrzeugrc, zwar auf andera W e i s e , doch rnit demselben Re- sulkate gcllnclitcs Problem beleuclitet. PoggendorfPs 'InnaI. Rd. LXXXIV. 10 146 N'N das Bild A , , wobei A , M = A , M'; A, ist ein Bild Bild voii A , iiii Spicgcl MN, uud so geht cs fort bis end- lich cin Bild aiif deli Bogeu N" fallt, vou welcheii dauo, weil es auf den Ruckseiteu beider Spiegel liegt, keiu wei- teres Bild melir erzeugt wird. 1. Bild A, ist im Spiegel M N uiid vou M um a Leicht ist deinnach einzusehea euiferut 2. '3 A , J) 1) M'N' I J N U y + a I l 3. ') A , 11 1) M N $1 III 2 cp + 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Demuach nteP 8ild A k - 1 ist von seinein Spiegel uni (k- l)rp+a entfcriit u s. w. Das letzte Bild darf von seinein Spiegel nicht uin rz uud um nicht weuiger als utn rz-rp cutfcriit seyn, damit es iiicht atif N ' N falle; ist demnach das ntc Bild das letzte, so gelteu folgeude Bedingungen: ( n - l ) y + a < n daraus - n147 Ehe wir zur Discussion unserer Bediiigui~gsgleichungell ubergchen, wolleii wir untersuclien, ob und wann sich ei- nige der entstehenden Bilder deckeu, wid so gewissermafscn die Zahl der Bilder vcrriu, -ern. Leiclit ist einzuselieu, dafs Bilder cines und desselben Zugcs sich ilicht deckeu. Bildcr nicht desselben Zuges kiinnen sicli iiiir d a m decken, wenn sie iiicht von deal- selbcii Spicgel herriihren, in welchein Falle ihre Or te anch iiicht von deinselben Spiegel, soiider~i von dein zugebiirigen Spiegcl aus gemessen werden. Machen nBmlich dicse zwei Eiitfcrnungen und die Entfernung der Spiegel zusaniinen ge- rade einen Kreisumfaiig aus, so decken sie sich; hierfur gilt also die Bediugung: weuii dns nte Bild des eiuen Zu- gcs das k'le des andereu decken sol1 ( k - I ) v+ cc + (k' - 1 ) 9-t-y -c t + ( ~ = 2 m 2 n liieraus A+%= - 'p ' da aber beide Bilder von deui Spiegel ihrcs' Zuges her- komiiieii miissen, so ist k mit k gleictizeitig gerade oder ungerade, folglich ist I_ - - d. h. es mufs y in m 2 8 aufgchen. Es decken sich deinnach n u r d a m Bilder, wann y in n aufgeht nud da diejenigen, deren Ordnungszahlen k und k' als Summe die Anzahl der E l d e r haben (nach 3), folglich nur die zwei lctzten. - Zur Uotcrsucliutig der Bedingvugsgleicliui~ge~~ nelimen wir zwei Falle besonders vor: 1) Es geht y in 292 auf und es sey dann - - p , danu ist m148 Es ist solnit, wenn in 2 n aufgelrt, (lie Auzahl dcr Bilder = dein Quotienten ; wenn aber dieser Qtiotieut eine gerade Zahl ist, so dcckcii sirlr die bcideii lctztcii Bilder, uiid W ~ I I I I sie eiue utigeraclc Zalil ist iind dabei dcr Ge- genstand in der Mitte steht, so giebt es eiii Bild weniger. 2 ) Es geht y i n 2 n (folglich auch in n) uicht atif, und es sep d a m 2. = q + ;, wo also q die ganze Znlil und [Y den Rest bedeiitet, dcr bei der Division vou cp in n hernuskommt. D a m sind die beideu Bediiigu~gsgleicliongeii : P T n q + P - n - 12' 5 q - 1 + - v v Hier ist nun sogleich zu heuicrken: ist P = n , so ist n = q ; ist @>a, so ist n = q + l ; uiid ist p < n , so ist fal=q; ist feruer P + n = y , so ist n'=q; ist P + n > y , so ist n ' = q + l ; uiid i s t i3+cc@, o n ist die Zalil ilcr Bilder = 2 g - 2 ) 1st p > n rind y - 0 ~ 3 @ , I, = 2 q + 1 3 ) 1st @ 7 a und ' p -u, = 2 g + 1 4) 1st ,G> OL rind qJ --n < $, )) = 2 q + 2 . - Diese vier Satze lassen sich leicht iir Worle Irleidcn, weuu iriari bedeokt, d a b n und rp-n dic Eiitfcriiuiig des Gcgciistandes von beideu Spiegeln, p deli Rest und q die ganze Zahl hedeutet, die bei der Divisioii yon y in n her- auskoiiiinen. Zuletzt ist noch zu beachten, d a k wir nicht wic! gewirhulich den Gegenstand als Bild rnit zahJten; thtit inair diefs, so verinehrt sich uatiirlich die Zalil der Bilder imiiicr urn eius. Eiiie weitere Discussion der Gleicliungen z. B. fiir den Fall, dafs n = 0 , und ferner die iilliere Betrachtuug der An- zahl der Bilder eiires jedcn Zuges etc. iibcrlassen wir dem I,cscr.