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4 O Begriffsschrift de Frege

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O Begriffsschrift de Frege Fernando Raul Neto A Lógica sofreu uma mudança radical em sua estrutura ao longo do século XIX. Mudou em quantidade - o que ela abarca ao final do século é salientemente maior que o encerrado pela chamada Lógica clássica, aquela sistematizada e legada por Aristóteles - e mudou em qualidade - suas técnicas e sua simbolização são essencialmente diferentes. Uma primeira idéia da radicalidade dessas alterações no corpo da disciplina no século XIX pode ser obtida por duas avaliações da Lógica aristotélica, uma feita por Kant ao final do século XVIII, a outra por Russel no início do século XX. Para Kant a Lógica clássica era um exemplo de disciplina que havia seguido, usando sua própria expressão, "o percurso certo da ciência"; esta conclusão depreende-se do fato de a Lógica, escreve ele no prefácio da edição de 1787 da sua Crítica da razão pura, "não ter podido desde Aristóteles dar nenhum passo atrás", uma vez que, ainda segundo Kant, não se deve considerar melhorias a supressão de algumas sutilezas dispensáveis ou a determinação mais clara do exposto, "coisas pertencentes mais à elegância do que à segurança da ciência". Kant observou ainda que a Lógica não precisou até então "dar um passo adiante, parecendo, portanto, ao que tudo indica, completa e acabada." 1 Russel, por seu turno, tendo a vantagem sobre Kant de todo o século XIX atrás de si, valoriza a lógica Aristotélica de forma bem antagônica. Reconhecendo que a "influência de Aristóteles, que foi muito grande em campos diversos, foi maior ainda no campo da lógica", Russel estranha e lamenta que em sua época muitos professores de filosofia ainda rejeitem, obstinadamente, os descobrimentos da lógica moderna, "aderindo com estranha tenacidade, a um sistema que é positivamente tão antiquado quanto a astronomia de Ptolomeu." 2 Russel parece estar certo, porque a Lógica, diferentemente do que Kant achava, resolveu dar um passo adiante e cuidar de si própria. Gottlob Frege (18481925) não foi o único a contribuir para o avanço da Lógica no século XIX, os ingleses de Morgan, Hamilton e, principalmente, Boole contribuíram para a mudança da feição da disciplina. Porém, é unânime entre os estudiosos a constatação de que foi Frege o responsável pelas alterações seminais no corpo da Lógica clássica, das quais emergiram o que hoje se chama, quase indistintamente, de Lógica moderna, Lógica simbólica, Lógica formal ou Lógica matemática. O texto seminal, o primeiro livro de Frege, é o Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, publicada em 1879 em Halle, na Alemanha 3 . É deste texto que nos ocuparemos neste artigo e do qual intencionamos dar uma visão geral ao leitor de sua introdução e da parte I. O que propõe Frege no seu livro? Comecemos pelo título: não há, até agora, uma tradução brasileira para o livro Begriffsschrift, mas uma possível tradução para o título seria Ideografia, uma linguagem por fórmulas do pensamento puro modelada sobre a da Aritmética. 4 Não podemos dizer, no entanto, que Ideografia seja o termo 1 2 3 4 Cf. Kant 1983, p. 9. Cf. Russel 1969, Cap. XXII, "A Lógica de Aristóteles", p. 227. Republicada em Frege (1998). Proposta por Paulo Alcoforado em sua Introdução a Frege 1978. estabelecido no Brasil para Begriffsschrift, temos como alternativa Conceitografia 5 . A expressão Begriffsschrift, tomada ao pé da letra, significaria algo como escrita conceitual ou notação conceitual. Frege utiliza o termo Begriffsschrift tanto para referir-se a "um sistema simbólico e artificial, elementar, não determinado (pelo menos potencialmente) de uma estrutura e de uma descrição rigorosa", e também para referir-se ao livro ou ao seu conteúdo 6 , o qual ele anuncia no título: o livro trata - é o objetivo específico de Frege nesta obra - da criação de uma Begriffsschrift 7 , que seria uma linguagem por fórmulas construída ou modelada por imitação da linguagem utilizada na Aritmética. Mas por que e para que criar uma tal linguagem? Por que, ao criá-la, imitar a linguagem utilizada na aritmética? Notemos, de início, que Frege, enquanto matemático, possuiu um único e grande projeto: fundamentar a aritmética. Toda a sua produção escrita, direta ou indiretamente, alude a esse seu projeto. São na sua Dissertation 8 e no seu Habilitationsschrift 9 , nas dezenas de recensões de livros ou artigos, nas suas conferências publicadas como artigos em jornais e revistas que Frege, ao longo de sua vida, anuncia, explica ou defende o seu projeto fundacionista. Já no prefácio do Begriffsschrift ele explicita o leitmotiv deste seu primeiro livro e de todas as suas demais obras. "Aritmética", escreve Frege, "foi o ponto de partida dos pensamentos que me conduziram a minha Begriffsschrift" (p. VIII). Fundamentar a Aritmética, diríamos, precisando mais, do ponto de partida de Frege. E fundamentar em bases lógicas. De fato, Frege inicia seu texto procurando caracterizar o tipo de verdade que é veiculada pelos juízos aritméticos. Para tal ele separa o processo epistemológico pelo qual as verdades científicas são obtidas do processo pela qual elas podem depois ser justificadas. Isto porque Frege acredita que o reconhecimento de uma "verdade científica passa geralmente através de vários estágios de certeza" (p. III). Daí ele formular duas perguntas: a primeira, saber por qual trajetória uma determinada proposição é gradualmente conseguida, a segunda, de qual maneira ela poderia, da maneira mais firme, ser finalmente estabelecida. A primeira questão Frege descarta de sua análise, porque "possivelmente necessita ser respondida diferentemente pelas diferentes pessoas" (p. III). A segunda é mais definitiva, porque para Frege a "prova mais firme é obviamente a estritamente lógica, a qual, prescindindo de todas as particularidades das coisas, baseia-se exclusivamente nas leis que suportam todo o conhecimento" (p. III). Frege divide assim todas as verdades que necessitam de justificação em dois tipos, as que podem ser provadas por meios puramente lógicos e as que necessitam ser fundamentadas em fatos empíricos. Frege acredita - a sua famosa tese logicista - que as verdades da Aritmética são do primeiro tipo. A Begriffsschrift, a notação conceitual que Frege introduz, é concebida exatamente para dar conta de seu projeto logicista, porque ao tentar conduzi-lo da 5 6 7 8 9 Utilizada por Luiz Henrique Lopes dos Santos em sua tradução brasileira do artigo de Frege Über die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift como Sobre a justificação científica de uma conceitografia. Cf. Peirce - Frege 1980. Cf. Paulo Alcoforado in Frege 1978, p. 15. Manteremos (acompanhando Beaney 1997) o termo alemão sem tradução, mas com a convenção de distinguir o texto da notação conceitual pelos artigos "o" e "a", ou outros termos designativos do masculino e feminino, como "seu", "sua". Assim o Begriffsschrift refere-se ao texto, a Begriffsschrift refere-se à notação conceitual, etc. Sobre uma representação geométrica das formas imaginárias no plano. Ueber eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene. Jena, 1873. Métodos de cálculo que se baseiam em uma ampliação do conceito de grandeza. Rechnungsmethoden, die sich auf eine Erweiterung des Größenbegriffes gründen. Jena, 1874. forma a mais rígida possível, ele encontra o obstáculo da "inadequação da linguagem" (p. IV). Da necessidade de transpor este obstáculo "surgiu a idéia da presente Begriffsschrift. Ela é assim pensado para servir primordialmente para testar, da maneira a mais confiável, a validade de uma cadeia de inferência e para revelar todos os pressupostos que possam passar despercebidos, de modo que a sua origem possa ser investigada". (p. IV) A utilização da Aritmética como modelo, adverte Frege, "refere-se mais às idéias básicas do que aos detalhes. (...) A minha linguagem por fórmulas aproxima-se diretamente da linguagem da Aritmética na forma de utilização de letras." (p. IV) O Begriffsschrift, na realidade, não contém apenas a notação conceitual exigida por Frege, encontramos nele in nuce todo o projeto logicista intencionado por Frege, embora sua execução ainda vá exigir de Frege muitos anos de sua vida. A linguagem necessária e a concepção, a defesa para um grande público e a sua efetiva execução será conduzida em sua trilogia: 1. Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (1879); 2. Grundlagen der Arithmetik (1884); 3. Grundgesetze der Arithmetik (Vol. I 1893, Vol. II 1903) Relevando uma série de detalhes a trilogia de Frege pode ser assim apreciada: no Begriffsschrift criar uma linguagem precisa que não permita em uma dedução a intromissão de nada intuitivo, que faça com que uma cadeia de inferência seja livre de lacunas; no Grundlagen, defender filosoficamente o projeto e esboçar a fundamentação lógica do conceito de número; nos dois volumes do Grundgesetze, retomar, desenvolver e concluir tecnicamente o projeto. O próprio Frege, ao final do prefácio do Begriffsschrift, anuncia as suas investigações subsequentes acerca do conceito de número e grandeza, levadas a cabo em 1884 nos Grundlagen der Arithmetik. Vejamos o que Frege apresenta no Begriffsschrift observando de início a sua estrutura. Ele dividiu seu livro em um Prefácio e três partes: I. Explanação dos símbolos, II. Representação e dedução de alguns juízos do pensamento puro e III. Alguns elementos de uma teoria geral das séries. No prefácio Frege expõe os objetivos gerais de seu programa e de sua obra, na Parte I explica seu simbolismo, sua Begriffsschrift; na Parte II utiliza-a na construção de uma axiomatização para o hoje chamado cálculo de predicados através de nove axiomas, mostrando como várias proposições podem ser formuladas e deduzidas dentro do cálculo; na parte final Frege examina o princípio da indução matemática, com o objetivo de definir logicamente a seqüência dos números naturais. O essencial para um projeto de fundamentação lógica da aritmética estava apresentado. Um programa de pesquisa, para usar a expressão de Lakatos, estava delineado. A história poderia ter sido outra (logicamente a história sempre pode ser outra), mas o que de fato sucedeu é que o Begriffsschrift passou ao largo da comunidade científica e os poucos que a leram foram bem críticos. Isto conduziu Frege a uma atitude defensiva e, digamos, didática. Explicar as suas novidades conceituais, mostrar a superioridade de sua lógica em relação a de Boole (veja mais abaixo) e, o mais importante, ele próprio, refinar as suas idéias. O Grundlagen, cinco anos depois, é a resposta acabada para esse viés didático de seu projeto. Acompanhemos mais de perto agora o texto de Frege, vejamos como ele mesmo vê a sua Begriffsschrift. Já vimos como Frege pensa a sua modelação pela linguagem da aritmética, mas qual seria a relação dela com a linguagem natural? Frege responde oferecendo uma analogia com a relação entre o microscópio e o olho. O olho tem uma grande superioridade sobre o microscópio por conta, segundo Frege, do campo de suas aplicações e da sua flexibilidade, com a qual o olho é capaz de se adaptar às mais diversas circunstâncias. Mas como instrumento óptico o olho revela claramente muitas imperfeições, que passam despercebidas devido à sua íntima conexão com a vida mental. Para os objetivos científicos, onde se exige precisão, o olho torna-se inadequado. O microscópio é perfeito para tais fins, mas exatamente porque é inútil para os outros. Da mesma forma Frege entende a sua Begriffsschrift como uma ajuda para determinados objetivos científicos e que "não deveria ser condenada porque não seria adequada para outros fins." (p. V) Se a Begriffsschrift atende esses objetivos, então a falta de novas verdades em seu texto, desculpa-se Frege, podem ser relevadas. Mas "eu me consolo com isto ao saber que um desenvolvimento no método também avança a ciência." (p. V), e refere-se a Bacon para corroborar seu ponto de vista da importância metodológica de seu trabalho. Em seguida (p. V-VI), Frege compara a sua Begriffsschrift com as idéias leibnizianas de criação de uma espécie de característica universal. Essa referência a Leibniz é essencial para se compreender o modo como Frege pensa a sua Begriffsschrift. De fato, Frege entende a característica universal de Leibniz como um calculus philosophicus ou ratiocinator, e acredita que a grandiosidade dessa concepção não a fez avançar além das preparações iniciais. "Mas mesmo que esse grande objetivo não possa ser atingido em uma primeira tentativa", escreve Frege, "não se deve desesperar por conta de uma aproximação vagarosa, passo a passo." (p. VI) Frege acredita que os símbolos aritméticos, geométricos e químicos podem ser considerados como realizações do projeto leibniziano em campos particulares. A sua Begriffsschrift seria mais uma contribuição particular, "de fato colocada no meio delas, reunindo todas." (p. VI) Frege parece assim entender a sua Begriffsschrift como anterior às demais disciplinas, e daí entendê-la também como ferramenta para os filósofos: "Se a tarefa da filosofia é quebrar o poder das palavras sobre a mente humana, desvelando as ilusões que, através do uso da linguagem, quase sempre inevitavelmente surgem quando se relaciona os conceitos, então minha Begriffsschrift, ampliada para estes objetivos, pode tornar-se uma ferramenta útil para os filósofos." (p. VI) Frege também utiliza a referência a Leibniz para defender-se da identificação de seu trabalho com o de Boole. A sua defesa é que a sua idéia básica não é a construção de mais um cálculo lógico, na direção de Boole, mas da criação de uma linguagem simbólica, na direção de Leibniz: "Não era meu desejo apresentar uma lógica abstrata através de fórmulas, mas exprimir um conteúdo mediante sinais escritos de maneira mais precisa e mais clara do que seria possível através de palavras. Com efeito, desejava produzir, não um mero 'calculus raciocinator', mas uma 'lingua characteristica' no sentido leibniziano; para tal realização, reconheço porém que um cálculo dedutivo é uma parte necessária de uma ideografia. Se isto foi mal compreendido, talvez se deva ao fato de eu ter permitido que, no desenvolvimento de meu projeto, o aspecto lógico abstrato ocupasse demasiadamente o primeiro plano." 10 Que Frege não entende sua Begriffsschrift apenas como calculus raciocinator, como um simples cálculo lógico, se revela também quando ele afirma que a própria invenção da Begriffsschrift contribui para o avanço da lógica. "Espero que os lógicos, se eles não são afastados pelas primeiras impressões de não familiaridade, não repudiarão as inovações para as quais fui compelido por uma necessidade inerente à própria matéria." (p. VII) 10 Frege 1978, p. 142. A Parte I do Begriffsschrift, Erklärung der Bezeichnung (Explanação dos símbolos), Frege divide em 12 parágrafos: no primeiro ele apresenta o que chama de idéia fundamental de qualquer simbolização: "[...] distinguir duas espécies de símbolos, [...] a fim de torná-los em geral aplicáveis ao domínio mais amplo do pensamento puro. Por isso eu divido todos os símbolos que uso entre aqueles pelos quais pode-se representar diferentes coisas e aqueles que tem um sentido bem determinado." (p. 1) Frege refere-se aqui as variáveis de sua notação e aos conectivos lógicos que ele introduz. Nos parágrafos seguintes ele aborda os temas Juízo (§§ 2-4), Condicionalidade (§§ 5-6), Negação (§ 7), Identidade de conteúdo (§ 8), A função (§§ 9-10) e Generalidade (§§ 11-12). Um juízo, explica Frege no § 2, será expresso pelo símbolo que colocado à esquerda de um símbolo ou complexo de símbolos fornece o conteúdo do juízo. Se a pequena barra vertical à esquerda da horizontal é omitida, "então o juízo é transformado em um mero complexo de idéias, do qual o autor não afirma se ele reconhece sua verdade ou não." (p. 2) Frege exemplifica: se A significa o julgamento "Pólos magnéticos opostos atraem-se mutuamente", então A não expressará este juízo, mas deve meramente despertar no leitor a idéia de atração mútua dos pólos magnéticos opostos. Mas Frege não trata aqui apenas de representação simbólica. Seu interesse é caracterizar o que é importante em uma cadeia dedutiva, e qualquer coisa que seja irrelevante para a inferência lógica (Schlussfolge) deve ser descartada. Frege chama de conteúdo conceitual (begrifflicher Inhalt) tudo o que em um juízo deve ser levado em conta para a inferência lógica. Para Frege se a sua linguagem por fórmulas é para ser entendida corretamente este ponto deve ser sempre lembrado, e daí a escolha do título de seu livro como Begriffsschrift. "Desde que me restringi, em primeiro lugar, à expressão das relações que são independentes da particularidade das coisas, fui assim também capaz de usar a expressão 'linguagem por fórmulas do pensamento puro'." (p. IV) Mas o que é este conteúdo conceitual de um juízo? Para explicá-lo Frege providencia um primeiro grande distanciamento da lógica aristotélica: "A distinção entre sujeito e predicado não encontra lugar em minha representação de um juízo." (p. 2) Isto porque, como vimos, só importa a Frege o que possui significação para a inferência lógica, ou seja, o conteúdo conceitual do juízo. Com um exemplo Frege mostra porque o par sujeito x predicado não capta o essencial para a inferência lógica: "[...] noto que os conteúdos de dois juízos podem diferir de duas maneiras: ou as conclusões que podem ser obtidas de um deles quando combinados com outros também sempre seguem do segundo quando combinados com os mesmos juízos, ou isto não ocorre. Os dois juízos 'Em Plataea os gregos venceram os persas' e 'Em Plataea os persas foram vencidos pelos gregos' diferem da primeira maneira. Mesmo se uma leve diferença de sentido pode ser discernida, a concordância predomina." (p. 3) O ponto para Frege é que nenhuma distinção é necessária entre juízos que tem o mesmo conteúdo conceitual, e daí ser irrelevante logicamente a distinção produzida pelo par sujeito x predicado. "A significação lingüística da posição do sujeito na ordem das palavras repousa na marcação do lugar onde se deseja particularmente chamar a atenção do ouvinte." (p. 3) Pela explicação de Frege poderíamos inferir que P e Q tem o mesmo conteúdo conceitual se P e Q são logicamente equivalentes, isto é, se P → Q e Q → P. Frege distingue agora entre juízos universal e particular, chamando a atenção do leitor que a distinção aplica-se aos conteúdos dos juízos: "Dever-se-ia dizer: 'um juízo com conteúdo universal', 'um juízo com conteúdo particular.' (§ 3) Em seguida descarta a distinção kantiana dos juízos: "A distinção entre juízos categóricos, hipotéticos e disjuntivos parece-me ter apenas significação gramatical." (§ 3) Nos parágrafos seguintes, 5 e 6, Frege introduz o conectivo → da implicação material e a regra de inferência modus ponens, oferecendo vários exemplos elucidativos. Vejamos, com sua própria notação, como é apresentado a implicação B → A. "Se A e B são conteúdos afirmáveis (§ 2), então existe as quatro seguintes possibilidades: (1) A é afirmado e B é afirmado; (2) A é afirmado e B é negado; (3) A é negado e B é afirmado; (4) A é negado e B é negado. A B significa agora o juízo de que a terceira dessas possibilidades não ocorre, mas sim uma das outras três." (§ 5) Esta definição estabelece simplesmente, em linguagem moderna, a equivalência lógica entre B → A e ~ (~ A ∧ B). A Begriffsschrift de Frege utiliza apenas dois conectivos, o da condicional e o da negação. Este último ele introduz no início do (§ 7). "Se uma pequena barra vertical é colocada no lado inferior da barra de conteúdo, então pretende expressar a circunstância de que o conteúdo não é obtido. Assim, por exemplo, A significa 'A não se obtém'. Chamo esta pequena barra vertical de barra de negação." (§ 7).O restante do parágrafo Frege utiliza para exemplos e para introduzir as demais funções proposicionais em função da condicional e da negação. Assim, em notação moderna, teríamos A ∨ B definido como ~B → A, A ∨ B (no sentido exclusivo) por ~ [(~B → A) → ~ (B → ~A)] e A ∧ B, por ~(B → ~A). Vimos a importância que Frege empresta à sua noção de conteúdo conceitual; o símbolo ——A, como ele alertou, deve expressar esta noção, isto é, apenas o que é relevante na inferência lógica. Mas como dizer que duas expressões simbólicas, digamos A e B, possuem o mesmo conteúdo conceitual? Frege, no § 8, dá uma primeira resposta através de uma notação: (A ≡ B) significa "o símbolo A e o símbolo B possuem o mesmo conteúdo conceitual, de modo que A pode ser sempre substituído por B, e vice-versa." (p. 15) Mas Frege sabe das dificuldades aqui envolvidas porque, poder-se-ia argumentar, se a igualdade diz respeito apenas à expressão e não ao pensamento, não haveria necessidade de usar diferentes símbolos para o mesmo conteúdo e consequentemente de um símbolo para a igualdade (p. 14) Este diagnóstico do problema está correto, mas não será aqui no Begriffsschrift que Frege apresentará um tratamento exaustivo do problema, ele precisa de dois novos conceitos para tratá-lo. Sinn e Bedeutung são duas palavras do cotidiano de qualquer alemão (da mesma forma que sentido e significado são para o de um brasileiro), mas que por conta das diferenças lógico - filosóficas que Frege, mais tarde em 1892, em seu famoso artigo Über Sinn und Bedeutung (Sobre o sentido e o significado), imputou aos termos, entraram para o rol daqueles conceitos filosóficos que produzem consensos entre os estudiosos na mesma proporção que produzem dissensões. A distinção fregeana entre Sinn e Bedeutung é assim pensada para fornecer um tratamento adequado da igualdade, e foi por ele exaustivamente tratada no artigo citado. Mas já aqui, no § 8 do Begriffsschrift, de título Igualdade de conteúdo (Die Inhaltsgleichheit), Frege apresenta uma primeira reflexão sobre o tema, embora sem muita clareza ainda, como ele mesmo afirma nas primeiras linhas do artigo referido, da necessidade da distinção. De fato, Frege inicia o parágrafo afirmando que a igualdade de conteúdo "difere da condicionalidade e negação por relacionar nomes e não conteúdos." (p. 13) Mais ainda, como se precisa também dizer que os conteúdos são iguais, então "a introdução de um sinal para a igualdade de conteúdo provoca uma bifurcação no significado de qualquer símbolo, ora ele representando seu conteúdo, ora representando a si próprio." (p. 14) A idéia de Frege é que se os símbolos A e B surgem assim isolados em proposições eles representam conteúdos, mas quando surge A ≡ B, eles representam a si próprios. Mas é necessário, realmente, falar de igualdade? Acompanhemos, com a figura abaixo 11 , o exemplo que Frege apresenta para justificar tal necessidade. B B B B A Em uma circunferência marca-se um ponto A em torno do qual fazemos girar linhas retas no sentido horário. Chame de B o ponto variável da circunferência obtido pela intercessão da linha reta móvel com a circunferência. Frege então pergunta: "Que ponto é produzido quando a reta torna-se perpendicular ao diâmetro?" A resposta é o ponto A. Agora, segundo Frege, fica justificada a necessidade de dois nomes: "O nome B tem assim neste caso o mesmo conteúdo que o nome A; e um único nome não poderia ter sido utilizado desde o início, uma vez que a justificação para tal somente surge por esta resposta." (p. 14) Frege, no prefácio, como vimos, já havia comentado sobre a importância, na análise de uma expressão, da troca do par sujeito x predicado por função x argumento. Nos parágrafos 9 e 10 ele explica como se deve proceder com a troca. Os novos termos ele tomou emprestado da matemática. A idéia é que em uma expressão matemática, por exemplo, 72 + 5 x 7 + 6, posso, no lugar do 7, imaginar o número 8, ou qualquer outro, de forma que ela pode ser entendida como constituída de uma parte constante (...)2 + 5 (...) + 6, a função, que representa a totalidade das 11 Frege não traz figura alguma em seu texto. Tomamos a figura de Beaney 1997, p. 64. relações que podem ser imaginadas, e o símbolo 7, o argumento, que pode ser substituído por outros e que denota o objeto que entra na relação. Vejamos um exemplo, do próprio Frege, no qual ele comenta as diversas possibilidades de se encarar uma expressão funcionalmente: "considere 'a circunstância de que o centro de massa do sistema solar não possui aceleração, se apenas forças internas atuam no sistema solar'. Aqui 'sistema solar' ocorre duas vezes. Podemos assim tomar a expressão como uma função do argumento 'sistema solar' de diferentes maneiras, dependendo se consideramos 'sistema solar' como substituível na primeira ocorrência, na segunda ou em ambas (mas, no último caso, pelo mesmo argumento nas duas ocorrências). Estas três funções são todas diferentes." (p. 16) No início do § 10 Frege apresenta a sua notação funcional: "Para exprimir uma função indeterminada do argumento A, incluímos A entre parênteses seguindo uma letra, como, Φ(A) Da mesma forma Ψ(A,B) significa uma função dos dois argumentos A e B, que não são determinados. Aqui as ocorrências de A e B nos parênteses representam as ocorrências de A e B na função, independente se elas ocorrem uma vez ou várias. Por isto, em geral, Ψ(A,B) e Ψ(B,A) são diferentes." (p. 18) Esta idéia de usar funções amplia de forma considerável o universo de expressões passíveis de análise lógica, e é hoje uma ferramenta inalienável da lógica. O cálculo de predicados, tópico obrigatório nos cursos de lógica oferecidos nas universidades, surge com esta idéia funcional e com a notação quantificacional que Frege introduz no § 11. Até então a lógica dividia-se em uma teoria silogística (o legado aristotélico) e em um cálculo proposicional, ambos admitindo uma simbolização como interpretações distintas da álgebra de Boole. A nova lógica de Frege além de prover um tratamento unificado das duas teorias, oferece uma axiomatização para o cálculo proposicional. 12 A versatilidade de sua lógica Frege procura demonstrar em seu texto abordando exemplos que fogem a um tratamento simbólico pela lógica clássica. É o caso das chamadas proposições de múltipla generalidade, freqüentes na matemática e na linguagem corrente, como o já clássico Todo filósofo admira um lógico 13 , cujas ambigüidades podem ser discernidas na simbologia de Frege. A ambigüidade é clara: trata-se do mesmo lógico que todos os filósofos admiram ou cada filósofo tem o seu lógico preferido? No primeiro caso: (∃y) (Ly ∧ (∀x) (Px → Axy)) No segundo caso: (∀x) (Fx → (∃y) (Ly ∧ Axy)) 12 13 A comparação entre as lógicas de Boole e Frege é essencial para entender o avanço de Frege. A superioridade do tratamento fregeano é ponto estabelecido na literatura, mas, em sua época, isto não estava claro. Frege necessitou explicar sua Begriffsschrift e mostrar sua diferença essencial da lógica de classes de Boole. De Frege pode ser lido: Anwendungen der Begriffsschrift (1879), onde ele oferece aplicações de sua Begriffsschrift, Über den Zweck der Begriffschrift (1883), onde, respondendo às críticas de Schröder, compara seu trabalho com o de Boole. Traduções brasileiras, Aplicações da ideografia e Sobre a finalidade da ideografia por Paulo Alcoforado em Frege 1978. O exemplo não é de Frege. Na matemática, o exemplo famoso de múltipla generalidade é a definição de limite, que tem atormentado bastante os estudantes da disciplina: dizemos que o limite da função f(x) é L, quando x tende para xo, se para todo número ε positivo, existe um número δ, também positivo, tal que ⏐x - xo ⏐ < δ implica ⏐f(x) - L⏐ < ε. O símbolo para o quantificador universal de Frege é diferente, e ele não utiliza simbolização nenhuma para o quantificador existencial, exprimindo-o em função do quantificador universal. A expressão moderna ∀x F(x) Frege escreveria como: x ∪ F(x) Frege conclui a primeira parte do Begriffsschrift com o clássico quadrado de oposições lógicas. Escapa a Frege a observação de que as conhecidas relações entre as proposições não são válidas no seu sistema. Por exemplo, as proposições A e E podem ser ambas verdadeiras, não sendo assim proposições contrárias, como estabelece a sua definição. A S u a l t e r n a ç ã o a ∪ C o n t r á r i a s E a ∪ P(a) X(a) P(a) S X(a) u a l t e r n a ç ã o Contradição a ∪ P(a) X(a) a ∪ P(a) X(a) O I S u b c o n t r á r i a s De forma bem mais resumida, vejamos agora o que Frege apresenta no restante do texto. Como vimos Frege apresentou o seu sistema notacional e cumpre agora mostrar o seu funcionamento. É o que ele faz na parte II de título Representação e dedução de alguns juízos do pensamento puro (Darstellung und Ableitung einiger Urtheile des reinen Denkens). É a parte mais extensa do livro, são 10 parágrafos (§§ 13 a 22) distribuídos em 34 páginas (pp. 25 a 58). O leitor moderno resume em poucas palavras esta segunda parte: trata-se da exposição axiomática da lógica de predicados através de 9 axiomas incluindo algumas deduções como exercícios. Frege explica a divisão de seus axiomas: "[...] três exigem, as fórmulas 1, 2 e 8, para a sua expressão, excetuando as letras, apenas o símbolo da condicional; três, as fórmulas, 28, 31 e 41, contém ainda o símbolo da negação, duas, as fórmulas 52 e 54, o da igualdade de conteúdos, e em uma, fórmula 58, emprega-se o de concavidade da barra de conteúdo." (p. 26) São os seguintes os axiomas de Frege, expressos em notação moderna e preservando a sua numeração: 1. 2. 3. 4. 5. (1) (2) (8) (28) (31) a → (b → a) (c → (b → a)) → ((c → b) → (c →a)) (c → (b → a)) → ((b → (c → a)) (b → a) → (~ a → ~b) ~~a→a 6. 7. 8. 9. (41) (52) (54) (58) a → ~ ~a (a = b) → (f(a) → f(b)) a=a (∀ x) f (x) → f (a) Uma observação atenta desses 9 axiomas de Frege mostra de forma clara o quanto ele avançou em relação aos seus antecessores. Os seis primeiros axiomas são necessários para desenvolver o chamado cálculo proposicional, com o nono axioma desenvolve-se o cálculo de predicados, e com o sétimo e o oitavo axiomas o cálculo de predicados com identidade. 14 Observemos que o axioma 52 é uma versão do princípio da indiscernibilidade dos idênticos de Leibniz. Diferente do que se faz hoje nos manuais de lógica, Frege não apresenta de início todos os seus axiomas (daí que os seus axiomas não estão numerados de 1 a 9). Frege, na realidade, faz uma única grande dedução, numerando as linhas, na qual aparecem 68 proposições, incluindo os 9 axiomas. O esquema é o seguinte: as proposições 1 e 2 são axiomas, e com eles Frege deduz as proposições 3 a 7; a proposição 8 é uma axioma, e com os três axiomas até então apresentados Frege deduz as proposições 9 a 27, e assim por diante. A parte III do Begriffsschrift, (Alguns elementos de uma teoria geral das séries) é a mais técnica do livro. Como vimos o grande projeto de Frege é o de fundamentação da aritmética e é aqui ao final de seu Begriffsschrift que ele apresenta o primeiro esboço de sua solução. Em seu próximo livro, o Grundlagen der Arithmetik (1884), obra destinada mais a um grande público, Frege ainda não completa tecnicamente seu projeto de fundamentação, continua ainda no espírito de apontar as linhas gerais da solução. Somente nos dois volumes do Grundgesetze der Arithmetik (1892/1903) é que Frege de fato desenvolve tecnicamente o seu programa. Não vamos aqui acompanhar os detalhes técnicos desta terceira parte, mas tentar reproduzir as idéias básicas que moveram Frege em sua solução. Está clara a idéia de Frege: desejando mostrar - a sua famosa tese logicista que as verdades da Aritmética tem todas um caráter lógico, e sabendo que é possível deduzir todas as proposições da Aritmética da série dos números naturais, então basta mostrar que estes últimos tem um caráter lógico. Ele escreve: "O caminho que segui foi primeiro procurar reduzir o conceito de ordenação em uma série ao de conseqüência lógica, a fim então de progredir para o conceito de número. De modo a que nada intuitivo possa ser aqui introduzido indesejadamente, tudo tem de depender da cadeia de inferência livre de lacunas." (p. IV) Olhemos mais de perto o que significa fundamentar a aritmética. No século XIX havia na matemática um esforço de torná-la rigorosa, de erigir o seu edifício dedutivo em bases sólidas. O modelo euclidiano de organização axiomático-dedutiva montado na prescrição aristotélica de que os axiomas seriam verdades intuitivas e evidentes - começava a mostrar os seus limites com a descoberta das geometrias não-euclidianas, que colocava em cheque o caráter apodítico dos axiomas. É natural então pensar a aritmética como solução para a questão fundacional da matemática, e isto de fato sucedeu. A expressão aritmetização da matemática engloba assim todos os programas que procuravam, explícita ou implicitamente, reduzir dedutivamente as diversas disciplinas matemáticas à aritmética. A história nos conta desses esforços no cálculo, na análise matemática em geral, na geometria, etc. 14 Cf. Kneale & Kneale, p. 179-180, p. 494. Relevando todos os detalhes o consenso é que com a seqüência dos naturais 0, 1, 2, 3, 4, etc. poder-se-ia alcançar o objetivo reducionista almejado. Uma direção e dois sentidos opostos (mas não excludentes) foram perseguidos. Tomar os naturais como dados 15 e avançar para os números reais e daí para o restante da matemática. O outro caminho é não aceitar os naturais como dados, como evidentes, como não-problemáticos e tentar trazê-los para uma base mais segura. Este foi o caminho escolhido por Frege. 16 A base sólida por ele escolhida foi a lógica. Como definir a série 0, 1, 2, 3, etc. através de conceitos lógicos? Dois problemas devem ser distinguidos: o primeiro é definir cada número, e aí havia consenso que pode ser feito por recorrência 17 , digamos, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1. Mas é preciso, este é o ponto, definir logicamente o primeiro deles e a idéia de somar 1. O segundo problema é que para fazer matemática, sem abdicar dos importantes resultados até então conseguidos, precisa-se do conceito de conjunto infinito. É preciso dizê-lo logicamente! Isto porque, mesmo que saibamos dizer o que é o 0 e o 1 e como dizer cada número particular por recorrência aos anteriores (por exemplo, 12 = 11 + 1, 11 = 10 + 1, ...2 = 1 + 1), é preciso saber dizer todos eles. As soluções 0, 1, 2, etc., 0, 1, 2, e assim por diante ou 0, 1, 2 ... não servem, porque a questão precisa é dizer o que significa o etc., o e assim por diante o ... . Estes são os problemas técnicos de Frege, que ele tenta resolver ao longo de sua trilogia. Tecnicamente essas coisas são equivalentes ao princípio da indução matemática (PIM). Basta então apresentar este último de forma lógica. A analogia com um dominó de infinitas pedras alinhadas uma atrás da outra dá uma boa idéia do PIM. Quais condições devem ser preenchidas para que se tenha certeza que ao derrubar a primeira pedra da fileira de dominós todas as infinitas pedras caiam? São duas: i) que a primeira pedra caia e derrube a segunda; ii) que uma qualquer caindo, a que lhe segue também caia. É isto que os matemáticos fazem em seu cotidiano. Para mostrar, por exemplo, que a fórmula 1 + 2 + 3 + ....+ n = n (n + 1) / 2 é verdadeira para qualquer n natural ele usa o PIM, mostrando, primeiro, que ela é verdadeira para n = 1 e, depois, a implicação "se a fórmula valer para n então ela vale para n +1." Os esforços de Frege se concentram exatamente em trabalhar logicamente essa passagem de n para n + 1. Não vamos acompanhar, neste artigo, os detalhes. Frege introduz, entre outros, os conceitos de propriedade hereditária e de ancestral próprio, para tentar captar logicamente a essência do que se afigura na indução matemática. Um exemplo e um contra-exemplo do próprio Frege nos dão uma primeira idéia da direção de seu enfoque. Na seqüência dos descendentes de um certo pai (supondo, é claro, que cada descendente vá gerar filhos) a propriedade ser um ser humano é hereditária. Como contra-exemplo considere um pilha de feijões e a seqüência tirar feijão da pilha de um em um. A propriedade do primeiro grão deixar uma pilha de feijões atrás de si após ser retirado não é hereditária. O Begriffsschrift foi publicado em 1879 e, como vimos, um programa para a fundamentação lógica da aritmética havia sido delineado. Frege iria dedicar então os seus esforços científicos na execução técnica desse programa. O segundo volume do Grundgetze estava pronto na editora para ser publicado quando Frege recebe em 1902 a hoje famosa carta de Russel apontando uma contradição lógica no Axioma V 15 16 17 Kronecker, por exemplo, afirmava em 1886 "O bom Deus criou os números, o resto é obra humana." (Die ganzen Zahlen hat die liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.) Frege não foi o único. Entre outros, Cantor, Peano e Dedekind devem ser contados. Cf. Kneale & Kneale, p. 461. de seu sistema. A morte matemática do programa estava provada! Mas o grande mérito de Frege não estava aí localizado. Além da renovação e ampliação da lógica, incontestáveis, ele pautou a discussão lógica subsequente, discussão presente na própria disciplina, na matemática, na filosofia da linguagem e na filosofia analítica. Russel, Hilbert, Wittgenstein, Quine, Kripke, entre outros vão partir de Frege. Ele sabia o que havia feito. Escreveu para o filho e herdeiro testamentário (traduzindo livremente): "Não jogue fora o que escrevi. Mesmo que tudo não seja ouro, existe ouro nele. Acredito que existam coisas aqui que serão um dia bem mais apreciadas do que são hoje. Tome conta de que nada se perca." 18 19 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Bibliografia Beaney, M. (Ed.): The Frege: Reader, London: Blackwell, 1997. Beaney, M.: Frege: Making Sense, London: Duckworth, 1996. Berka, Karel; Kreiser, Lothar: Logik-Texte. Kommentierte Auswahl zur Geschichte der modernen Logik. Akademie-Verlag, Berlin, 1971. Carl, Wolfgang: Frege's Theory of Sense and Reference. Its Origin and Scope. Cambridge University Press, 1994. Reimpressào 1995. Demopoulos, W., (ed.): Frege's Philosophy of Mathematics, Cambridge, Mass. Harvard, 1995. Dummett, M.: The Interpretation of Frege's Philosophy, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1981. Frege, Gottlob: Begriffsschrift und andere Aufsätze. 5a reimpressão da 2a edição (1964). Com as observações de E. 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Reimpressão 2000 Kant, I.: A Crítica da Razão Pura. Coleção Os Pensadores, trad. Valério Rohden e Udo Baldur Moosburger, Abril, 1983. Kneale, W.; Kneale, M.: O desenvolvimento da lógica. 3a edição. Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa, 1991. Patzig, Günther: Sprache und Logik. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen, 1981. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 18 19 Citado de Beaney 1997, p. 9. Agradecemos aos professores John Fossa e Leonardo Cysneiros pela leitura do texto e pelas sugestões oferecidas. 17. Russel, Bertrand: A Lógica de Aristóteles in História da filosofia ocidental, Livro primeiro, Cap. XXII. 3a ed., trad. Breno Silveira, Companhia Editora Nacional/CODIL, São Paulo, 1969. 18. Weiner, Joan: Frege. Oxford University Press, 1999.
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